§ 2. Влияние среды на рост популяций

Понятие о лимитирующих факторах восходит к работам Либиха, сформулировавшего в середине прошлого века «принцип минимума». В настоящее время принципы «узкого места» Иерусалимского [18, 19] или «бутылочного горлышка» Пауэлла [20], дополненные условием ретроингибирования [21], являются основой для количественного исследования законов развития сложных биологических систем.

Однако раньше чем было проведено глубокое теоретическое обоснование идеи лимитирующего звена, в математических моделях скорость роста биомассы (или численности популяции) задавалась

как функция некоторого фактора, ограничивающего рост. Скорость роста биомассы х при неограниченных ресурсах питательных веществ должна быть пропорциональна биомассе: Опыт показывает, что величина называемая удельной скоростью роста, будет уменьшаться по мере исчерпывания лимитирующего ресурса в окружающей среде. Эмпирическую зависимость нарастающую функцию с предельным значением можно математически представить по-разному, например, аппроксимировать экспонентой. Однако всеобщее признание получила аппроксимация с помощью уравнения гиперболы, предложенная в 1942 г. Моно [22]:

где константа связывания субстрата.

Популярность формулы Моно, сохраняющаяся до наших дней, заключается не только и не столько в удобстве вычислений (сам Моно именно это обстоятельство приводил в качестве аргумента в пользу своей формулы), сколько в ее сходстве с формулой Михаэлиса — Ментен для скорости ферментативной реакции. После появления работ Иерусалимского об «узком месте», т. е. о самой медленной энзиматической реакции, определяющей весь ход биохимического процесса, это сходство получило неформальное содержание. Закон роста Моно (3.8) стали рассматривать как скорость реакции «узкого места» в цепи ферментативных реакций переработки субстрата.

Рис. 3.4. Зависимость удельной скорости роста от концентрации субстрата при:

В разное время разными авторами предлагалось много вариантов записи функции Упомянем здесь лишь формулу Моно — Гольдани

описывающую субстратное ингибирование (с константой при больших концентрациях На рис. 3.4 представлено семейство безразмерных кривых

в зависимости от параметра ингибирования

Наряду с зависимостью удельной скорости роста от концентрации лимитирующего субстрата существенную роль в кинетике роста биомассы клеток играют всевозможные ингибиторы. Простейший закон, описывающий уменьшение при росте концентрации ингибирующего вещества был предложен Хиншельвудом (см. [23]):

Иерусалимским и Нероновой [24] была экспериментально исследована зависимость удельной скорости роста от концентраций ингибирующих продуктов и предложено уравнение гиперболы для аппроксимации этой зависимости. Если ингибитор изменяет скорость той же реакции, которая лимитируется субстратом (что естественно с точки зрения концепции узкого места), то скорость роста как функция может быть записана аналогично формулам неконкурентного ингибирования в ферментативной кинетике:

Это известный закон Моно — Иерусалимского. Различные варианты подобных мультипликативных зависимостей можно найти в обширном обзоре [23].

Если ингибирование происходит продуктами метаболизма, количество которых пропорционально биомассе: то вместо зависимости можно записать зависимость Например, в случае формулы Хиншельвуда (3.10) такая замена приводит к упоминавшемуся выше закону Ферхюльста (см. (3.1)):

Отметим попутно, что Кобозев и др. (см. [25]) предлагают вывести закон Ферхюльста, пользуясь понятиями формальной кинетики. Рост биомассы представляется в виде обратимого автокаталитического размножения «прототипов»: откуда получается уравнение, аналогичное (3.12). Однако положенное в основу модели предположение об обратном превращении биомассы в субстрат осуществляется отнюдь не всегда, что ограничивает ее применимость.

Если микроорганизмы питаются не одним, а несколькими субстратами и (или) угнетаются несколькими ингибиторами, возникает вопрос: существует ли в каждый данный момент единственный лимитирующий фактор или могут быть «мультипликативные» зависимости от разных факторов? В последнем случае скорость роста представляется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного фактора. Например, для двух субстратов

Это означает, - что скорость роста определяется не только тем субстратом, который находится в минимуме, но реагирует также на изменения другого субстрата.

При другом подходе к проблеме лимитирования записывается условие точного переключения, а именно

В этом случае скорость роста определяется самым узким местом: она зависит только от одного субстрата, лимитирующего рост,

и перестает совсем от него зависеть, когда лимитирующим становится другой субстрат.

Проблема «переключения узких мест» исследовалась экспериментально в работах Иерусалимского и Нероновой [24] на примере действия двух ингибиторов. На рис. 3.5 приведены зависимости скорости роста пропионовых бактерий от концентрации продукта их жизнедеятельности — ацетата.

Рис. 3.5. Зависимость скорости роста пропионовокислых бактерий от концентрации ацетата при концентрации пропионата : точки — экспериментальные данные, сплошная линия — соответствующая теоретическая зависимость, пунктир — теоретическая кривая при (см. [19]).

Наличие горизонтального участка подтверждает принцип точного минимума: при малых концентрациях ингибитора (ацетата) последний совсем не влияет на скорость роста, зато в игру вступает другой ингибитор — пропионат. Иначе говоря, имеет место условие точного переключения:

Математическая модель, описывающая строгий принцип минимума, была предложена и исследована в [19] (см. также на примере кинетики цепи ферментативных реакций, на разные звенья которой действуют разные ингибиторы. «Строгий минимум» возникает при этом за счет накопления промежуточного продукта перед самым узким местом. Благодаря этому чувствительность к медиаторам, действующим на другие звенья, исчезает — возникает как бы буфер, демпфирующий их влияние. Тот же эффект имеет место, если накапливается не сам промежуточный продукт, а какая-либо его резервная форма, т. е. вещество, в которое упомянутый интермедиат может обратимо переходить.

Таким образом, выражение типа (3.14а, б) представляется сейчас более обоснованным, нежели мультипликативная форма (3.13), как экспериментально, так и теоретически.

Не будем здесь далее перечислять возможные модели, учитывающие влияние среды; их можно найти в обзорах и монографиях [23, 25-29, П38].

Заканчивая обсуждение влияния факторов внешней среды на рост клеток, упомянем еще об одном важном обстоятельстве. Во всех приведенных моделях параметрами, управляющими ростом биомассы, были концентрация субстратов или ингибиторов в околоклеточном пространстве. На самом же деле биосинтез должен зависеть лишь от соответствующих внутриклеточных концентраций. Проблема диффузии (пассивной или активной) субстрата через клеточную мембрану занимает большое место в моделировании

клеточного роста (см., например, [301). Мы, однако, в нашем изложении будем полагать, что процесс диффузии не является «узким местом» и лимитирующим рост фактором служит недостаток субстрата во внешней по отношению к клетке среде.