§ 5. Силовое и параметрическое переключение

Пусть система устойчиво работает в первом режиме: мало, велико (см. рис. 2.7). Возникает вопрос, можно ли переключить ее во второй режим, и как это сделать. Есть два различных способа переключения. Первый способ заключается в добавлении продукта так, чтобы концентрация его изменилась на и изображающая точка пересекла сепаратрису. Необходимое для этого количество добавляемого продукта (а также изменение концентрации должно быть достаточно большим. После добавления продукта изображающая точка сама устремится к устойчивому положению 2, и система окажется переключенной. Какое время нужно затратить на изменение концентрации — в данном случае не существенно; это время может быть и очень малым.

Этот способ условно можно назвать силовым, по аналогии с механическими системами, в которых любое непосредственное изменение динамических переменных ассоциируется с приложением внешней силы (точнее, импульса). С математической точки зрения это означает, что в правой части уравнения (2.176) для в течение короткого промежутка времени действовал мощный источник продукта сторонняя сила. С биологической точки зрения такой способ переключения можно назвать специфическим, поскольку речь идет о добавлении конкретного интермедиата метаболизма.

Другой способ переключения заключается в изменении параметров системы. Рассмотрим его подробнее. Пусть в системе, устойчиво работающей в режиме 1 (см. рис. 2.7), в момент времени мы изменили параметры: увеличили, например, или уменьшили При постепенном изменении отношения фазовый портрет системы искажается.

Рис. 2.8. Бифуркационное состояние несимметричной модели (2.17) при Пунктир — траектория системы при параметрическом переключении.

Рис. 2.9. Изменения концентраций и суммы при параметрическом переключении.

Две точки — устойчивый узел 1 и седло 3 — приближаются друг к другу и аннигилируют (рис. 2.8), По существу, имеет место бифуркация триггерного типа, но, в отличие от рассмотренного выше случая, картина резко несимметрична и точка 2 почти не изменяет своего положения. После достижения бифуркационного значения система, оказавшаяся в положении 1, уже сама движется к единственной оставшейся устойчивой стационарной точке 2. Траектория ее движения изображена на рис. 2.8 пунктиром. Важно отметить, что эта траектория всегда расположена между изоклинами и, следовательно, проходит близко к координатным осям (в меру близости к осям самих главных изоклин). После того как изображающая точка подойдет близко к положению 2 (точнее, попадет в сферу влияния точки 2), в момент 4 можно вернуть параметрам их прежние значения; фазовый портрет при этом восстановится, но система окажется в положении 2 и будет продолжать устойчиво работать во втором режиме.

Течение процесса переключения во времени можно проиллюстрировать рис. 2.9. В отличие от предыдущего случая, время воздействия в данном случае не может быть очень малым; оно должно быть больше времени, необходимого системе для прохождения участка траектории, показанного на рис. 2.8 пунктиром. Подчеркнем, что при таком способе управления в течение всего времени переключения система по существу не является триггерной; имеется всего одно устойчивое стационарное состояние, к которому и стремится изображающая точка. В качестве «воспоминания» о триггерности остается резкость переходов, тем большая, чем больше была амплитуда триггера.

Этот способ переключения можно назвать параметрическим, поскольку непосредственному изменению подвергаются не динамические переменные, а параметры системы. С биологической точки зрения изменение параметров может быть достигнуто за счет изменений субстратного снабжения. Изменения отношения можно достичь и другими неспецифическими воздействиями: изменением рН, температуры и т. п., поскольку в общем случае параметры разных систем по-разному зависят от внешних условий. В этой связи подобный способ переключения можно назвать также неспецифическим.

Представляет интерес сопоставить основные характеристики специфического (силового) и неспецифического (параметрического) переключений. Уже упоминалось, что при достаточно большой амплитуде триггера величина при силовом переключении тоже велика. В то же время амплитуда параметрического переключающего воздействия (т. е. величина существенно меньше. Другое отличие состоит в том, что для Силового переключения необходимо мощное импульсное воздействие — удар, в то время как параметрическое переключение может (и должно) вестись в более мягких условиях. Напрашивается вывод: с биологической точки зрения параметрическое (неспецифическое) переключение более удобно и целесообразно, чем силовое. К обсуждению этого вопроса мы еще вернемся.

Важно подчеркнуть некоторые особенности переходного процесса при параметрическом переключении [22]. Из рис. 2.9 видно, что в течение времени уровень метаболитов обоих режимов падает. Имеет место лаг-период, в котором оба режима «выключены». Это обстоятельство нам представляется не случайным, а характерным для процессов переключения. Физический смысл его в следующем: системе выгодно сперва выключиться из исходного режима, а потом включиться в конечный, но не наоборот.

Механизмы необратимого переключения, или блокировки, были исследованы (как экспериментально, так и теоретически) в работах Цанева и Сендова Главную роль при этом играют ядерные белки (как основные — гистоны, так и кислые); они взаимодействуют с зарепрессированным геном и образуют плотную оболочку. Ген оказывается полностью выключенным, и обратить этот процесс, т. е. снова активировать ген, можно только

при особых (вообще говоря, исключительных) обстоятельствах. Таковые если и возникают, то только при делении клетки (в стадии митоза). В работе [20] была предложена полная модель процесса, содержащая более десяти переменных и множество параметров; она исследовалась на ЭВМ. Далее, для упрощения было сделано предположение о том, что процессы блокировки имеют резкий характер, т. е. каждый элемент системы работает по принципу «да — нет». При этом модель, естественно, перешла в класс дискретных автоматов и в такой форме исследовалась в работах [23].

Оставаясь в рамках динамических систем, целесообразно рассмотреть минимальную модель (точнее, дополнение к модели ЖМ), учитывающую эффект блокировки (что и было сделано в работе [24]). В качестве исходных положений можно принять, что

а) вероятность блокировать оперон пропорциональна вероятности застать его в зарепрессированном состоянии, т. е.

Здесь вероятность застать оперон зарепрессированным и заблокированным соответственно; вероятность деблокирования

б) Коэффициент пропорциональности зависит от концентрации блокирующих факторов z и эта зависимость достаточно резкая и насыщаемая, т. е.

в) Синтез блокаторов z весьма слаб в омнеопатентном режиме (когда и резко усиливается при высокой суммарной концентрации специфических компонентов, т. е.

Здесь скорость синтеза и скорость распада блокаторов при оба процесса протекают медленно но

Учитывая, что процессы на уровне гена — быстрые, а синтеза и распада блокаторов — медленные, можно исключить переменную а переменную z рассматривать в рамках схемы ЖМ как медленно меняющийся параметр.

Опуская промежуточные выкладки, приведем модель ЖМ (2.17) с учетом блокировки в форме

где параметр является функцией а изменение последней задается уравнением (2.23). Вначале при имеем а при 1 параметр

Модель (2.24) в каждый момент времени может быть сведена к (2.17) заменой переменных: При этом свойствамодели ЖМ сохраняются, но параметры уже зависят не только от уровня метаболизма, но и от блокаторов. Так, при достаточно большом значении (и, следовательно, когда система находится в триггерном режиме,

уровень метаболизма может быть понижен до значения но в то же время триггерный режим сохраняется, поскольку Отметим, что в модели уменьшение уровня метаболизма неизбежно ведет к воссозданию омнеопатентного режима.

Отсюда ясен биологический смысл эффекта блокировки: в сложном и развитом организме, где большинство генов каждой клетки зарепрессировано, благодаря блокировке снимается необходимость тратить энергию на поддержание высокого уровня базового метаболизма. С другой стороны, блокировка снижает адаптабельность каждой клетки. Следует ожидать в этой связи, что у низкоорганизованных организмов эффект блокировки либо отсутствует, либо выражен менее ярко.

Сопоставим теперь результаты модели с процессом дифференциации. Прежде всего нужно сравнить биологические и математические термины. При этом нужно учитывать, что в развивающемся организме такие величины как интенсивность метаболизма, степень блокировки и др. медленно меняются со временем. Следовательно, параметры модели (и в первую очередь параметр медленно увеличиваются; это и является причиной качественного изменения поведения модели, усложнения системы, т. е. ее развития.

Вначале при малом значении имеется единственный устойчивый стационарный режим. Этому состоянию модели естественно сопоставить понятие омнеопатентного состояния. Мультистационарному (триггерному) состоянию можно сопоставить понятие компетентной ткани, поскольку только в этом случае клетки способны переключаться в иной режим работы. Бифуркационное состояние следует трактовать как момент возникновения компетенции к дифференциации. Важно подчеркнуть, что приобретение компетенции связано с неустойчивостью.

Понятию индукции в модели следует сопоставить внешние ,по отношению к рассматриваемой клетке воздействия. В реальном развивающемся организме они могут быть обусловлены влиянием других клеток и других тканей.

В модели четко различаются два разных типа индукции: специфический и неспецифический. Силовому воздействию следует сопоставить специфическую индукцию. Неспецифической индукции соответствует параметрическое воздействие, при этом в модели его можно рассматривать и как способ повышения компетенции; таким образом, эти два понятия смыкаются. Отсюда следует, что и в природе отличить неспецифическую индукцию от повышения компетенции невозможно и, по-видимому, не нужно. Отметим, наконец, что в момент, когда рассматриваемое состояние становится неустойчивым, переход в любое из возможных устойчивых состояний происходит под влиянием малых флуктуаций. В этом случае система вообще не нуждается в индукторе.

Рассмотрим теперь акт дифференциации в симметричной и несимметричной моделях. В первом случае В момент, когда А достигает значения 2, переходное состояние становится неустойчивым. Под влиянием малых случайных флуктуаций клетка

«выбирает» одно из возможных устойчивых состояний. При дальнейшем увеличении интенсивности метаболизма и возникновении эффекта блокировки это состояние закрепляется «навечно».

В отсутствие взаимодействия каждая клетка «выбирает» один из возможных режимов случайно. Однако в реальных условиях взаимодействие всегда имеет место; это мы обсудим ниже (в гл. 11). Забегая вперед, отметим, что в этом случае образуется не случайная, но детерминированная структура (так называемая диссипативная структура).

В несимметричной модели, например, если даже в омнеопатентном состоянии, когда оба параметра малы, единственный устойчивый режим работы ближе к состоянию 1 (т. е. ). Можно сказать, что предетерминация существует изначально. При увеличении и и достижении бифуркационного значения исходное состояние остается устойчивым, и другой возможный режим возникает в удаленной от первого области фазового пространства, что видно из рис. 2.8. Несмотря на наличие компетенции к работе в ином режиме, переключение может быть осуществлено только силовым образом, т. е. действием сильного специфического индуктора. При параметрическом переключении устойчивость исходного режима теряется в момент, изображенный на рис. 2.8. При этом, однако, исчезает и само исходное состояние и состояние 2 остается единственно возможным. Таким образом, в популяции клеток без взаимодействия и сильной специфической индукции все клетки работают в одинаковом режиме. Ситуация сильно меняется при учете взаимодействия; причем даже без сильной индукции возможно образование слоев из клеток, дифференцированных в различных направлениях. Несимметричная модель занимает в параметрическом пространстве более широкую область, нежели симметричная. (Равно, как и катастрофа типа складки по сравнению со сборкой.) Так, альтернативный синтез белков, выполняющих разные функции и использующих разные субстраты, в общем случае должен описываться несимметричной моделью.

Прямое сопоставление результатов модели дифференциации с имеющимися экспериментальными данными затруднено. Во-первых, модель является качественной, она не претендует (и не может претендовать) на полное количественное описание. Во-вторых, параметры (и переменные) модели являются комбинированными, т. е. зависят от множества факторов (как специфических, так и неспецифических), которые в эксперименте трудно все учитывать. В этой ситуации ценность представляют качественные результаты модели. К таковым относится утверждение о корреляции между состоянием базового метаболизма и появлением компетенции к дифференциации. Это утверждение проверяемо, поскольку дифференциация представляет собою яркое событие, регистрируемое визуально. С другой стороны, базовый метаболизм скоррелирован с энергетическим. В качестве критерия уровня последнего можно использовать либо содержание в клетке свободных радикалов, либо величину окислительно-восстановительного потенциала. Эти два

теста хорошо коррелируют, как было показано [25] на примере развития морского ежа Sea Urechin.

Корреляция между дифференциацией и базовым метаболизмом изучалась в работе [24] на примере развития пресноводной гидры и морского ежа. Было обнаружено, что концентрация свободных радикалов в теле гидры действительно сильно возрастает в момент дифференциации гипостомы. То же имеет место при развитии морского ежа в период гаструляции. Более того, отмечалось повышение локальной концентрации радикалов именно в местах образования дифференцированных тканей. Вместе с тем была замечена разница в поведении гидры и морского ежа, связанная, по-видимому, с уровнем организации.

У низкоорганизованных организмов (гидра) уровень метаболизма после дифференциации остается достаточно высоким в течение всей жизни. У более организованных (морской еж) индекс метаболизма в дальнейшем (на стадии нейрулы) снова падает почти до исходного уровня. Последнее обстоятельство свидетельствует в пользу того, что у высокоразвитых организмов имеет место эффект блокировки.

Эти данные, во-первых, согласуются с теоретическими (модельными) представлениями и, во-вторых, открывают возможность управления дифференциацией путем воздействия на базовый метаболизм. Так, у низкоорганизованных существ, согласно предсказаниям модели, можно вызывать как дифференциацию, так и дедифференциацию, активируя или подавляя базовый метаболизм.

Заключая этот раздел, отметим, что для описания ряда важных свойств дифференциации и особенно связи ее с морфогенезом точечная модель ЖМ недостаточна, необходимо использовать распределенную модель (см. гл. 11).