Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 5. Устойчивость диссипативных структурМетоды исследования устойчивости ДС развиты в работах Осипова и Кернера [4, 16] на примере образования страт в плазме. Фактически используется метод Ляпунова, т. е. определяется временная зависимость малых отклонений от стационарных решений Определение спектра В моделях класса сборки в первом приближении мы пренебрегаем интегральным членом, что эквивалентно условию уравнение для девиаций
Оно представляет собою уравнение для собственных значений квантовомеханической задачи о движении в потенциале Теллера. Эта проблема хорошо изучена (см. [24]); спектр собственных энергий связанных состояний таков, что
В этой потенциальной яме существуют два связанных состояния с Во втором приближении учтем интегральный член по теории возмущений. Добавок к собственному числу при этом равен
Эта величина отрицательна, поскольку ядро интеграла положительно, а функция Вклад в интеграл дает область
Таким образом, решение типа одной ступеньки всегда устойчиво. Обсудим устойчивость ДС, содержащей две ступеньки на расстоянии
Соответствующее уравнение для
Оно эквивалентно уравнению для собственных значений задачи о движении частицы в потенциале, содержащем две симметричные ямы на расстоянии
.Расщепление
В частности, вместо
Они принадлежат двум собственным функциям двухъямной задачи Положительному инкременту соответствует антисимметричная комбинация функций. Эта комбинация и является нарастающей. Знак самой комбинации не определен и потому случаен. В случае, когда знак положителен, нарастание возмущений ведет к «расталкиванию» ступенек; в противоположном случае — к их сближению и аннигиляции. Учет во втором приближении демпфирующего интегрального члена приводит к тому, что ДС из двух фронтов может стать устойчивой. Это имеет место, если отрицательная добавка Таким образом, условие устойчивости ДС можно записать в виде
Отсюда можно оценить минимальное значение расстояния
или, возвращаясь к переменным
Величина Величины В моделях класса складки необходимо исследовать полную систему уравнений для Система для
Здесь Граничные условия для Метод последовательных приближений, использованный в модели сборки, не применим к анализу системы (11.44) в случае складки. Действительно, пренебрегая членом
В простейшей модели складки оно имеет вид
Собственные числа его таковы, что Та же ситуация имеет место и в других моделях складки. Таким образом, устойчивыми пичковые решения могут быть, только если вклад демпфирующей переменной (т. е. Уравнения (11.44) исследовались в работах [4, 16], несколько иным и более простым методом — в работе [25]. Опуская промежуточные выкладки, приведем основные результаты и проиллюстрируем их на примерах известных моделей. Сдвиг параметра
Здесь
Кроме того, использованы следующие обозначения: Для количественного определения Для качественных оценок
Можно показать (см. [25]), что величина
Для единичных пичков т. е. при условиях
Отметим также, что при анализе устойчивости единичного пичка на бесконечном отрезке становятся важными антисимметричные девиации, поскольку инкремент Отметим, что в общем случае величины Рассмотрим для иллюстрации устойчивость ДС в обсуждавшихся выше моделях складки. а) В простейшей модели (11.12) имеем
Так как периодические ДС в простейшей модели существуют лишь при б) В модели «брюсселятор»: Используя формулы (11.48) и (11.49), получаем условие устойчивости периодических ДС в виде
Отсюда минимальный период:
Сопоставляя его с величиной В случае одиночного пика, используя (11.50), получим для инкремента
Нетрудно видеть, что вещественная часть в) В модели ГМ при
Как и в предыдущих случаях, уравнение (11.45) сводится к задаче Теллера, решается точно и дает Для решения типа единичного пика
уравнение для инкремента
При малых значениях Для периодической ДС согласно (11.48), (11.49) условие устойчивости имеет вид
Отсюда следует, что минимальный период
Здесь Таким образом, величина минимального периода в моделях класса складки зависит от формы модели и может стать достаточно большой, так что область возможных периодов ДС сужается. Из изложенного следует, что существующие аналитические методы позволяют определить форму ДС, оценить ее параметры и исследовать ее устойчивость. Можно считать, что качественная теория ДС сейчас уже построена. Обсудим в заключение неканонические формы описания ДС. В работах [26, 27] исследовались модели, содержащие одну динамическую переменную и нелокальное по пространству взаимодействие, т. е. уравнение вида
В качестве ядра интегрального члена исследовались экспоненциальная и гауссова формы
Уравнение (11.53) обладает свойствами, близкими к свойствам канонической системы. Роль коэффициента диффузии демпфирующей переменной играет характерный размер ядра интегрального члена, т. е. Вопрос об эквивалентности форм (11.53) и канонической сейчас
Разрешая его в операторном виде, получим
где Другая, также не каноническая, форма описания ДС основана на уравнении типа [28]
Здесь В моделях типа (11.54) ДС возникают по координате Модель (11.54) может быть приближенно сведена к канонической форме. Разбивая образец по координате
Здесь Форма (11.55) фактически совпадает с общей формой моделей распределенных систем; последний член может быть включен в функцию Упомянем модели, в которых учитывалась возможная зависимость коэффициентов диффузии от динамических переменных и их градиентов (так называемая нелинейная диффузия). Они существенно, а не только по форме, отличаются как от канонической системы, так и от моделей типа (11.53) и (11.54). В случае резкой зависимости В целом модели с нелинейной диффузией еще мало исследованы. Теория метастабильных диссипативных структур рассматривалась Самарским, Курдюмовым, Елениным и др. (см. [36—38]).
|
1 |
Оглавление
|