§ 5. Устойчивость диссипативных структур

Методы исследования устойчивости ДС развиты в работах Осипова и Кернера [4, 16] на примере образования страт в плазме. Фактически используется метод Ляпунова, т. е. определяется временная зависимость малых отклонений от стационарных решений и Малые отклонения (девиации) ищутся в форме Устойчивыми являются решения, где все характеристические числа имеют отрицательную вещественную часть. Для возникает система однородных дифференциальных уравнений, собственными значениями которой являются характеристические числа Таким образом, в каждой задаче имеется спектр содержащий бесконечное число значений. В этом отличие от устойчивости точечной модели, где собственные значения алгебраической задачи и число их конечно.

Определение спектра методически близко к задачам квантовой механики; эта аналогия существенно помогает в конкретных случаях. В общем случае метод прост, но громоздок, поэтому мы проиллюстрируем его на примере двух базовых моделей и начнем с модели класса сборки, поскольку она локализуема и все исследования проводятся до конца в рамках модели.

В моделях класса сборки в первом приближении мы пренебрегаем интегральным членом, что эквивалентно условию Используя стационарное решение (11.19), легко получить

уравнение для девиаций в виде

Оно представляет собою уравнение для собственных значений квантовомеханической задачи о движении в потенциале Теллера. Эта проблема хорошо изучена (см. [24]); спектр собственных энергий связанных состояний таков, что

В этой потенциальной яме существуют два связанных состояния с Наибольшее собственное число соответствует основному знакоопределенному решению и равно нулю Собственное число функции равно остальные собственные числа тоже отрицательны.

Во втором приближении учтем интегральный член по теории возмущений. Добавок к собственному числу при этом равен

Эта величина отрицательна, поскольку ядро интеграла положительно, а функция знакоопределенна.

Вклад в интеграл дает область поскольку функции быстро (экспоненциально) спадают при Ядро дается уравнением (11.166); в области оно практически постоянно. С учетом этого получаем оценку:

Таким образом, решение типа одной ступеньки всегда устойчиво.

Обсудим устойчивость ДС, содержащей две ступеньки на расстоянии друг от друга (таком, что Стационарная ДС такого типа имеет вид

Соответствующее уравнение для имеет форму

Оно эквивалентно уравнению для собственных значений задачи о движении частицы в потенциале, содержащем две симметричные ямы на расстоянии превышающем ширины ям. «Двухъямная» задача хорошо изучена в квантовой механике; известно, что собственные числа «одноямной» задачи расщепляются:

.Расщепление по порядку величины равно

В частности, вместо появляются два числа где

Они принадлежат двум собственным функциям двухъямной задачи которые представляют собою симметричную и антисимметричную комбинации .

Положительному инкременту соответствует антисимметричная комбинация функций. Эта комбинация и является нарастающей. Знак самой комбинации не определен и потому случаен. В случае, когда знак положителен, нарастание возмущений ведет к «расталкиванию» ступенек; в противоположном случае — к их сближению и аннигиляции.

Учет во втором приближении демпфирующего интегрального члена приводит к тому, что ДС из двух фронтов может стать устойчивой. Это имеет место, если отрицательная добавка по абсолютной величине превышает

Таким образом, условие устойчивости ДС можно записать в виде

Отсюда можно оценить минимальное значение расстояния при котором ДС устойчива; оно равно

или, возвращаясь к переменным

Величина превосходит (хотя и незначительно) характерное расстояние Отсюда следует, в частности, что периодические решения уравнений (11.30) с периодом порядка (т. е. далекие от особого решения) неустойчивы (о чем уже упоминалось выше).

Величины и ограничивают формы возможных ДС типа сборки.

В моделях класса складки необходимо исследовать полную систему уравнений для При этом удобно выделить характерное время в развитии переменной длину диффузии они связаны с коэффициентом диффузии (величины мы примем равными единице).

Система для примет вид

Здесь функции, в которых переменные х и у заменены стационарными решениями

Граничные условия для запишем в форме при для периодических ДС с длиной периода и для единичных пичков.

Метод последовательных приближений, использованный в модели сборки, не применим к анализу системы (11.44) в случае складки. Действительно, пренебрегая членом в (11.44а), мы приходим к уравнению

В простейшей модели складки оно имеет вид

Собственные числа его таковы, что (оно соответствует симметричной функции (оно соответствует антисимметричной функции и остальные отрицательны.

Та же ситуация имеет место и в других моделях складки. Таким образом, устойчивыми пичковые решения могут быть, только если вклад демпфирующей переменной (т. е. в инкремент не мал по абсолютной величине. В этом главное отличие исследования устойчивости ДС в моделях складки и сборки. Устойчивость по отношению к антисимметричным девиациям имеет место, даже если сдвиг инкремента мал (но отрицателен). Практически это условие почти всегда выполняется. Поэтому мы сосредоточим внимание на сдвиге инкремента

Уравнения (11.44) исследовались в работах [4, 16], несколько иным и более простым методом — в работе [25]. Опуская промежуточные выкладки, приведем основные результаты и проиллюстрируем их на примерах известных моделей. Сдвиг параметра равен

Здесь функция Грина уравнения

Кроме того, использованы следующие обозначения: основные решения уравнений (11.45) и (11.44).

Для количественного определения необходимо найти функции и величину Функция во многих конкретных случаях может быть определена точно (например, уравнение (11.46) решается точно и его решения функции Эйри). Функция может быть найдена приближенно (или с помощью ЭВМ).

Для качественных оценок можно воспользоваться тем, что функции знакоопределенны и нормированы, вклады в интегралы (11.47) дают области в которых порядка единицы. С учетом этого получаем простое выражение

Можно показать (см. [25]), что величина в случае граничных условий (т. е. для периодических приближенно равна

Для единичных пичков т. е. при условиях величина равна

Отметим также, что при анализе устойчивости единичного пичка на бесконечном отрезке становятся важными антисимметричные девиации, поскольку инкремент в этом случае равен нулю точно. Физический смысл этого прост: в силу трансляционной инвариантности сдвиг уединенного пичка не вызывает сил, возвращающих его на прежнее место.

Отметим, что в общем случае величины сами зависят от и тогда выражение (11.50) следует рассматривать как уравнение для При этом возможно появление комплексных значений следовательно, колебательных (периодически «дышащих») ДС.

Рассмотрим для иллюстрации устойчивость ДС в обсуждавшихся выше моделях складки.

а) В простейшей модели (11.12) имеем Используя (11.48) и (11.49), получаем для сдвига инкремента периодических ДС оценку: Условия устойчивости при этом сводятся к неравенству

Так как периодические ДС в простейшей модели существуют лишь при то можно заключить, что они всегда неустойчивы. Таким образом, в простейшей модели нет области существования и устойчивости периодических ДС.

б) В модели «брюсселятор»: . При этом уравнение (11.45) также сводится к задаче Теллера и решается точно.

Используя формулы (11.48) и (11.49), получаем условие устойчивости периодических ДС в виде

Отсюда минимальный период: равен

Сопоставляя его с величиной в классе сборки (см. (11.43)), видим, что в данном случае зависит от большой диффузионной длины степенным, а не логарифмическим образом.

В случае одиночного пика, используя (11.50), получим для инкремента уравнение

Нетрудно видеть, что вещественная часть всегда отрицательна, т. е. единичный пик устойчив. При значениях лежащих в интервале инкремент содержит мнимую часть, и это значит, что процесс релаксации возмущений имеет колебательный характер.

в) В модели ГМ при согласно (11.29) имеем

Как и в предыдущих случаях, уравнение (11.45) сводится к задаче Теллера, решается точно и дает При этом согласно

Для решения типа единичного пика

уравнение для инкремента имеет вид

При малых значениях вещественная часть отрицательна и решение устойчиво. В широком диапазоне значений инкремент содержит мнимую часть. Это означает, что при можно ожидать появления автоколебательной ДС из одиночного пика.

Для периодической ДС согласно (11.48), (11.49) условие устойчивости имеет вид

Отсюда следует, что минимальный период

Здесь имеет тот же порядок величины, что и хотя и меньше в меру

Таким образом, величина минимального периода в моделях класса складки зависит от формы модели и может стать достаточно большой, так что область возможных периодов ДС сужается.

Из изложенного следует, что существующие аналитические методы позволяют определить форму ДС, оценить ее параметры и исследовать ее устойчивость. Можно считать, что качественная теория ДС сейчас уже построена.

Обсудим в заключение неканонические формы описания ДС. В работах [26, 27] исследовались модели, содержащие одну динамическую переменную и нелокальное по пространству взаимодействие, т. е. уравнение вида

В качестве ядра интегрального члена исследовались экспоненциальная и гауссова формы

Уравнение (11.53) обладает свойствами, близкими к свойствам канонической системы. Роль коэффициента диффузии демпфирующей переменной играет характерный размер ядра интегрального члена, т. е.

Вопрос об эквивалентности форм (11.53) и канонической сейчас доконца не выяснен. Во многих практически важных случаях каноническая система двух уравнений сводится к уравнению (11.53). Так, например, если уравнение для демпфирующей переменной является быстрым и решения его (при заданном х как параметре) устойчивы, то его можно заменить уравнением

Разрешая его в операторном виде, получим

где в общем случае нелинейный интегральный оператор. Ситуация особенно проста, если уравнение для стационарных решений демпфирующей переменной линейно. Тогда мы приходим к уравнениям базовых моделей (11.15) или (11.18). Не исключено, однако, что при некоторых более сложных формах ядра уравнение (11.53) выходит за рамки канонической системы уравнений (11.2).

Другая, также не каноническая, форма описания ДС основана на уравнении типа [28]

Здесь является функцией времени и двух пространственных координат

В моделях типа (11.54) ДС возникают по координате граничные условия по которой однородны и нейтральны, при этом по координате условия существенно неоднородны. Модель (11.54) используется, например, в случаях, когда основные процессы протекают на поверхности образца и при этом условия (температура, концентрация и т. п.) по глубине образца не однородны.

Модель (11.54) может быть приближенно сведена к канонической форме. Разбивая образец по координате на ряд участков, получаем вместо (11.54):

Здесь значение переменной в слое на глубине и вторая производная по заменена формой из конечных разностей, толщина слоя.

Форма (11.55) фактически совпадает с общей формой моделей распределенных систем; последний член может быть включен в функцию . В грубом приближении, когда образец может быть разбит всего на два участка по глубине, форма (11.55) переходит в каноническую.

Упомянем модели, в которых учитывалась возможная зависимость коэффициентов диффузии от динамических переменных и их градиентов (так называемая нелинейная диффузия). Они существенно, а не только по форме, отличаются как от канонической системы, так и от моделей типа (11.53) и (11.54). В случае резкой зависимости образующаяся ДС оказывается существенно более устойчивой, нежели в случае линейной диффузии (см. [23]).

В целом модели с нелинейной диффузией еще мало исследованы. Теория метастабильных диссипативных структур рассматривалась Самарским, Курдюмовым, Елениным и др. (см. [36—38]).