§ 6. Конкретные модели диссипативных структур

1. Модель Тюринга и «брюсселятор». Как мы уже упоминали, первая модель ДС была предложена Тюрингом в 1952 г. [1]. Работа Тюринга преследовала цель — продемонстрировать принципиальную возможность спонтанного образования ДС. В этой работе в общем виде были получены условия, при которых нарушается устойчивость по отношению к возмущениям с определенным волновым числом, т. е. условия бифуркации Тюринга (см. гл. 8, § 2). Специально подчеркивалась необходимость нейтральных, не несущих информации, граничных условий; информация о ДС должна содержаться в самой системе, т. е. в структуре нелинейной части модели, в ее параметрах. Таким образом, в работе Тюринга уже содержалась, хотя и в недостаточно четкой форме, идея о параметрической записи информации о конечной ДС. В идейном отношении работа Тюринга существенно опередила свое время. Конкретная модель, предложенная и исследованная Тюрингом,

преследовала чисто иллюстративные цели и не претендовала на описание какого-либо реального процесса.

В работах Пригожина и его школы была предложена и исследована модель, в идейном отношении очень близкая к модели Тюринга. Предполагалось, что в протяженном реакторе (например, тонкой замкнутой трубке) протекает автокаталитический процесс:

Здесь исходные вещества, которые в реакторе содержатся в избытке и концентрации их принимаются постоянными. Конечные продукты в силу необратимости процесса влияния на них не оказывают; х и у — промежуточные вещества, причем, вещество х является автокаталитической переменной, поскольку частично образуется за счет процесса Предполагалось также, что вещества х и у могут диффундировать вдоль реактора с различной скоростью (т. е. их коэффициенты диффузии и различны).

Соответствующая модель (см. уже обсуждалась, напомним ее свойства: вблизи бифуркации Тюринга при сравнимых коэффициентах легко возбуждаются гармонические ДС. В области контрастных возникает характерная для складки пичковая структура. При устойчивом однородном состоянии возможно решение солитонного типа. На примере брюсселятора было обнаружено и исследовано (в работах группы Пригожина (см. [П37]) и в работах Васильева [15, 19, П8]) явление гистерезиса.

Как уже упоминалось в § 2, на отрезке (таком, что могут образовываться несколько (даже много) ДС с различными периодами, такими, что При изменении параметров (в частности некоторые из них могут исчезать либо за счет потери устойчивости (когда достигает нижнего предела либо за счет разрушения плавного участка (когда При обратном изменении параметров имеет место гистерезис: исходная структура восстанавливается с запаздыванием, при иных значениях параметров, нежели те, при которых она исчезла.

Таким образом, брюсселятор является сейчас одной из наиболее изученных и популярных моделей ДС. К абстрактным моделям ДС, не претендующим на описание конкретного процесса, можно отнести распределенную систему, точечная часть которой соответствует модели Ван-дер-Поля и коэффициент диффузии автокаталитической переменной меньше, чем демпфирующей. В силу симметрии (присутствие нелинейных членов нечетных степеней) эта модель принадлежит классу сборки и должна давать ДС ступенчатого типа.

2. Модель Гирера — Майнхарта. Модель, претендующая на более конкретное описание морфогенеза, была предложена в 1972 г. Гирером и Майнхартом [2] (далее — модель Было предположено, что существует некий активатор и ингибитор Оба

они образуются в результате ферментативной реакции, скорость которой

Подчеркнем, что необходимость существования активатора и ингибитора для образования ДС является центральной в модели ГМ. Наличие автокаталитической и демпфирующей переменных (роль которых могут играть активатор и ингибитор) действительно необходимо для формирования ДС; это не гипотеза, а следствие условий Тюринга. Однако роль таких переменных могут играть разности (или, в общем случае, линейные комбинации) концентраций веществ, каждое из которых не является ни активатором, ни ингибитором. Поэтому утверждение об участии в морфогенезе реальных активаторов и ингибиторов является гипотезой, которую, в принципе, можно проверить экспериментально. В этом состояла привлекательная сторона модели ГМ. Помимо этого предполагалось, что имеется постоянный источник активатора (за счет другой, возможно, не ферментативной, реакции) и процессы спонтанного оттока (распада) активатора и ингибитора. Оба метаболита диффундируют с коэффициентами соответственно; Модель была записана в виде

Модель (11.57) можно представить в безразмерном виде (11.29); основные свойства ее мы уже обсуждали в предыдущем параграфе.

Модель ГМ преследовала цель — сопоставление теоретических данных с экспериментальными. Эта проблема решалась в два этапа. На первом этапе было показано [2, 3], что путем подбора параметров с помощью численных расчетов на ЭВМ можно получить распределение концентраций активатора, похожее на пространственное распределение «щупалец» у гидры. Подчеркнем, что речь идет о чисто внешнем сходстве двух, вообще говоря, различных процессов. Сходство было достигнуто при различных коэффициентах диффузии, и распределение активатора в ДС имело пичковый характер. На следующем этапе предполагалось более детальное сопоставление с биохимическими данными о распределении активатора и ингибитора. Основные качественные предсказания модели состояли в том, что активаторы должны быть сконцентрированы в «пичках», а ингибиторы распределены плавно. Проверка этого была осуществлена в работах [29, 30]. Результаты не подтвердили предсказания модели; оказалось, что активаторы и ингибиторы распределены по телу гидры одинаково плавно. На наш взгляд, этот результат свидетельствует о том, что активаторы и ингибиторы, в буквальном смысле терминов, в морфогенезе существенной роли не играют; роль автокаталитической и демпфирующей переменных выполняют комбинированные величины, о чем уже упоминалось выше.

3. Распределенные модели дифференциации. Модели, в которых наряду с бифуркацией Тюринга возможна также бифуркация триггерного типа, соответствующая дифференциации,

исследовались нами, начиная с 1967 г. ([32]; П47); они основаны На модели Жакоба-Моно (см. гл. 2, § 4). Однако модель ЖМ даже при учете диффузии специфических метаболитов, не может описать возникновение ДС, поскольку не удовлетворяет условиям Тюринга. Возникновение ДС становится возможным, если учесть, что концентрации субстратов соответствующих ферментативных реакций также зависят от времени и диффундируют в пространстве. Расширенная модель содержит четыре компонента и имеет вид (см. [14, 17, 31])

Здесь принято: Точечная часть подсистемы (если в ней положить постоянными) совпадает с моделью (2.27). В связи с этим модель (11.58) будем называть моделью Жакоба — Моно. Члены, входящие в подсистему (11.58в, г), имеют простой физический смысл: интенсивность притока субстратов, нелинейные члены описывают поглощение субстратов в ферментативной реакции и члены спонтанный отток субстратов. Модель ЖМ написана уже в безразмерной форме, т. е. выбраны естественные и удобные для исследования масштабы концентраций участвующих веществ.

Принято ради простоты, что конкурирующие генетические и эпигенетические процессы равноправны, т. е. проведены численные расчеты ДС в модели аналитическое исследование проведено в наших работах [17, 31]; оно показало, что в модели ЖМ возможна бифуркация Тюринга при условиях

где

и

При этом стационарная концентрация специфических переменных всегда больше единицы. При условие бифуркации Тюринга (11.26) выглядит особенно просто:

Знак «больше» соответствует области существования ДС. Напомним, ранее при анализе модели ЖМ (см. гл. использовалось условие седловой бифуркации в форме оно же

рассматривалось как условие Достижения компетенции к дифференциации специфической подсистемы. Сопоставляя его с условием бифуркации Тюринга, видим, что образование ДС возможно лишь тогда, когда компетенция к дифференциации заведомо достигнута Отметим, что в полной системе (11.58) седловая бифуркация достигается позже, при более высоких значениях параметров соответственно, х. (Именно, при

Таким образом, существует область в которой генетический аппарат уже компетентен к дифференциации, но в отдельной клетке она не реализуется из-за демпфирующего действия субстратов. Вместе с тем именно в этой области возникают, как мы покажем ниже, ДС ступенчатого типа: в разных участках пространства реализуется либо один, либо другой режим дифференциации. Можно сказать, что в этой области параметров дифференциация осуществляется лишь в результате нарушения однородности пространства, т. е. в результате морфогенеза.

Этот вывод может быть проверен экспериментально. Согласно изложенному, появление разметки должно коррелировать с достижением достаточно высокого уровня общего базового метаболизма. Признаки появления разметки достаточно надежно детектируются визуально. В качестве критерия общего метаболизма можно принять содержание свободных радикалов (как и было сделано в гл. 2).

В области параметров, где полная точечная модель (11.58) является триггерной, т. е. содержит три стационарных состояния (два из которых устойчивы). Это означает, что каждая отдельная клетка может существовать в дифференцированном состоянии. Можно сказать, что в этой области параметров дифференциация должна осуществляться вне зависимости от морфогенеза.

Отметим важное свойство модели ЖМ: при ее построении не использовалась гипотеза о наличии активаторов и ингибиторов. Более того, каждое из веществ не является ни активатором, ни ингибитором в буквальном смысле слова. Отсюда следует, что наличие таковых не является необходимым условием образования ДС. Тем не менее, эффект автокатализа в модели ЖМ, разумеется, возможен. Наиболее четко это проявляется, если использовать переменные

В области параметров, такой, что модель ЖМ сводится к базовой форме типа сборки:

Физический смысл условия но — в том, что компетенция к дифференциации уже достигнута, но выражена еще слабо. В системе (11.61) роль автокаталитической переменной (иными словами — активатора) играет величина разность концентраций специфических метаболитов. Роль демпфирующей переменной (т. е. ингибитора) играет разность концентраций субстратов. Другими словами, автокатализ в этой модели есть следствие достижения компетенции к дифференциации.

Образующиеся в исследовались как аналитически, так и с помощью ЭВМ [17]. Эти структуры имеют ступенчатый характер, соответствующий рис. 11.6. На плавных участках структуры (где можно считать, что элементы системы (т. е. клетки) предетерминированы; иными словами, концентрации в них уже сдвинуты в направлении к одному из стационарных состояний, соответствующему определенной дифференциации. В областях резких фронтов детерминация отсутствует. При эти области сужаются и их можно рассматривать как границы между дифференцированными тканями.

В более общем случае модель Жакоба — Моно несимметрична и специфическая подсистема описывается системой (11.58а, б), в которой параметры в уравнениях для различны. Потеря симметрии ведет к тому, что при длины участков, дифференцированных в разных направлениях, становятся не одинаковыми.

Другая модель, содержащая две переменные, но допускающая как бифуркацию Тюринга, так и триггерный режим, рассматривалась в [14]. В безразмерной форме модель имеет вид

В основе модели лежит гипотеза об автокаталитической реакции типа предположено также, что приток компонента у (член ) и отток х (член ) осуществляются за счет ферментативных процессов, активируемых при низкой концентрации и подавляемых при высоких концентрациях своими субстратами. Таким образом, компонент х является продуктом цепи ферментативных реакций, описываемых (11.62), и у — входным субстратом. Такая форма модели была выбрана для того, чтобы обеспечить возможность бифуркаций обоих типов. Бифуркация триггерного типа в точечной части (11.62) достигается при , и при система становится бистабильной. Бифуркация Тюринга в (11.62) имеет место при

где При анализе этой модели также был сделан вывод о необходимости компетенции к дифференциации для возникновения достаточно выраженной ДС.

Подведем итог изложенному.

В распределенной модели, описывающей дифференциацию, мягкое возникновение ДС возможно лишь после достижения компетенции к дифференциации, т. е. возникновения триггерных свойств в специфической подсистеме модели.

С другой стороны, реализация компетенции, т. е. появление дифференцированной ткани, сама зависит от образования ДС. Так, в симметричной модели ЖМ (а также во всех моделях типа сборки) появляются упорядоченные участки, дифференцированные в различных направлениях. Это происходит после и в результате разметки, т. е. образования ДС. Таким образом, при модельном исследовании процессы морфогенеза (точнее разметки) и дифференциации оказываются тесно связанными. Вопрос, какой из них является первичным, а какой вторичным (или, что является причиной, а что следствием), — представляется некорректным. Оба процесса протекают последовательно и на разных стадиях каждый из них создает условия реализации другого.