§ 1. Математическая модель распределенной системы

Прежде всего запишем достаточно общую математическую модель, пригодную для описания многих процессов как в химической, так и в биологической кинетике. Будем считать для простоты пространство одномерным, т. е. объем, в котором происходят химические реакции, взаимодействуют живые клетки и т. п., представляет собой узкую и длинную трубку. Вдоль трубки осуществляются процессы переноса, а в любом ее поперечном сечении происходит полное внутреннее перемешивание.

Пусть кинетические переменные, зависящие как от времени так и от координаты В химии и биохимии это концентрации реагирующих веществ, в биологии — биомасса или число организмов данного вида в единице объема (в нашем случае — на единицу длины). Как мы увидим ниже, переменные х, могут иметь и другой смысл — например, мембранного электрического потенциала. Кинетические уравнения с учетом взаимодействия компонентов и диффузии имеют следующий вид:

Здесь коэффициенты диффузии и взаимной диффузии, нелинейные функции, определяющие суммарные скорости изменения за счет их взаимодействий. Большинство изучаемых ниже моделей — однородно, т. е. не зависят от Матрица коэффициентов диффузии в диссипативных системах может быть диагонализирована и при этом собственные элементы вещественны и положительны. Поэтому во многих случаях можно считать, что - постоянные величины и 0. Как правило, ниже мы будем считать торцы реактора непроницаемыми. Это значит, что выполняются краевые условия второго рода

Моделирование существенно усложняется, если в системе существуют направленные потоки компонентов или если она не автономна, т. е. или ее коэффициенты зависят от времени, или в реакторе имеются переменные источники и стоки. Таким образом,

общей моделью распределенной кинетической среды является система квазилинейных параболических уравнений порядка.

Будем называть уравнения

точечной системой, соответствующей распределенной системе (8.1) в определенном сечении трубки-реактора Формально точечная система может быть получена из (8.1), если положить все Однако это физически не оправдано, так как в отсутствие диффузии молекулы не могут встречаться друг с другом. От уравнений (8.1) можно перейти к (8.3) и при в случае, когда все другие коэффициенты системы и длина остаются постоянными. Этот переход осуществляется просто, если система однородна. Положим и введем новую координату В новых координатах при -уоо длина реактора стремится к нулю и распределенная система сводится к точечной. Физически это означает, что на всем отрезке описываемый процесс будет вести себя так же, как и в бесконечно малом объеме. Компоненты будут меняться синхронно во всех точках При коэффициентах системы, зависящих от координаты рассмотрение предельного перехода особая задача. В дальнейшем будет показано, что для получения точечной системы не обязательно или Полное перемешивание можно осуществить и при конечных размерах реактора.