ГЛАВА 11. ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ И ПРОБЛЕМЫ САМООРГАНИЗАЦИИ

§ 1. Задачи моделирования

Понятие «диссипативная структура» (ДС) возникло в биофизике и используется для теоретического исследования формообразования и, в более широком плане, — самоорганизации в процессе развития организма. В настоящее время математическое моделирование самоорганизации на основе ДС представляет собой достаточно развитое направление, оно и является предметом настоящей главы.

Соображения о возможности спонтанного возникновения ДС в биологии высказывались сравнительно давно Рашевским, математическое моделирование их началось с работы Тюринга «Химические основы морфогенеза» [1], где была четко поставлена задача, перечислены условия возникновения ДС и приведен пример модели. Эта работа, ставшая классической, до сих пор не утратила своей актуальности. Детальное исследование модели типа Тюринга (так называемая «модель брюсселятора») проведено в работах группы Пригожина и изложено в монографии «Самоорганизация в неравновесных системах» Обе модели не претендовали на сопоставление с экспериментом; в качестве динамических переменных в них фигурировали концентрации некоторых «абстрактных» метаболитов — морфогенов.

В работах Гирера и Майнхарта [2, 3] была сделана попытка приблизить модель к реальности. В качестве переменных были выбраны концентрации «активатора» и «ингибитора». Однако и эта модель остается тоже достаточно абстрактной.

В связи с этим интерес к моделям «общего типа» со стороны биологов несколько снизился. На первом плане оказались вопросы: какие цели преследует математическое моделирование морфогенеза, что оно должно взять из эксперимента и что дать биологии. В данном случае эти вопросы весьма нетривиальны. Действительно, построить детальную модель, правильно учитывающую все процессы, принимающие участие в развитии организма, невозможно. Поневоле приходится пренебрегать «второстепенными», но при этом ответ на вопрос, что главное, а что второстепенное, зависит от целей моделирования.

Тем временем теория ДС, зародившись в биологии, нашла широкое поле применения в физике и химии. Неоднородные спонтанно возникающие структуры были обнаружены и исследованы в плазме, сверхпроводниках, полупроводниках, в химических реакциях

ит. д., иными словами, во многих процессах, протекающих в термодинамически неравновесных условиях и сопровождающихся существенной диссипацией энергии (отсюда и смысл термина — диссипативные структуры). Обзор этих явлений содержится в [4] и [П1].

В физике модели ДС носят конкретный характер, результаты такого моделирования легко (и успешно) сопоставляются с физическим экспериментом. Таким образом, ДС стали весьма популярны и вошли как существенная часть в новое научное направление — синергетику, развиваемое Хакеном [П59] (термин предложен им же). Теория ДС получила существенное развитие и снова возвратилась в биофизику. На этом этапе для биологии главную ценность представляют некоторые общие утверждения, опираясь на которые можно дать ответ на ряд принципиальных вопросов. Для того чтобы сформулировать эти проблемы, напомним кратко картину морфогенеза, акцентируя внимание на пространственных эффектах.

Как известно, яйцеклетка имеет симметричную, в первом приближении шарообразную, форму. Эта симметрия сохраняется на стадии бластулы, когда клетки, образующиеся в результате дробления, не дифференцированы и омнеопатентны. Затем симметрия нарушается и образуется полярная ось с анальным и вегетативным полюсами. Далее, на стадии гаструлы нарушается симметрия вращения — образуется ротовое отверстие и саггитальная плоскость, отделяющая брюшную сторону от спинной (отметим, что малые отклонения от симметрии, как сферической, так и вращательной, отмечаются и на более ранних этапах). К этому времени клетки дифференцируются и образуется три типа тканей: энтодерма, эктодерма и мезодерма.

Уже на первых стадиях проявляются особенности процесса, которые сохраняются и на последующих этапах. Обсудим их по порядку.

Основная особенность морфогенеза состоит в том, что имеет место нарушение исходной симметрии и связанное с ним усложнение формы объекта. Вопрос о причинах нарушения симметрии долгое время был дискуссионным, а именно, обсуждались две точки зрения. Согласно одной из них причиной считались малые, но вполне заметные неоднородности начальных и граничных условий. Так, например, распределение вещества в яйцеклетке не вполне однородно, что может предопределить образование полярной оси. Причиной нарушения цилиндрической симметрии считался акт оплодотворения: в яйцах амфибий брюшная сторона, как правило, образуется в области внедрения сперматозоида.

Теоретическое развитие эта гипотеза получила в работах [5, 6]. Было показано на основе простых моделей, что сравнительно небольшой начальный градиент концентрации может привести к возникновению полярной структуры. (В связи с этим был предложен термин «градиентная информация», получивший довольно широкое распространение.) Это утверждение само по себе не вызывает возражений, однако оно не отвечает на вопрос, является ли исходный градиент необходимым условием нарушения симметрии. Таким

образом, оно не исключает другой точки зрения, согласно которой нарушение симметрии в процессе развития происходит спонтанно, т. е. в результате неустойчивости симметричного состояния. В этом случае «причиной» нарушения может служить любая сколь угодно малая случайная флуктуация.

Для разрешения этого спора были проведены как экспериментальные, так и теоретические исследования. В работах группы Ньюкупа [7] было показано, что саггитальная плоскость образуется и тогда, когда сперматозоид внедряется точно в один из полюсов полярной оси. В этом случае он уже не может быть причиной нарушения цилиндрической симметрии и, тем не менее, она нарушается. Это означает, что на начальных этапах имеет место спонтанный процесс. На более поздних стадиях образование новой, более сложной формы идет на фоне и при участии уже сложившейся ранее структуры, которая может играть роль индуктора (так обстоит дело при образовании глазного хрусталика и центральной нервной системы).

Следующая важная особенность морфегенеза состоит в том, что образование новой формы и дифференцировка сопровождают друг друга. Неоднократно обсуждался вопрос — связаны ли эти процессы причинно, и если связаны, то что является причиной, а что следствием? Экспериментально этот вопрос решить трудно, ответ должна дать математическая модель.

Далее следует отметить, что развитие организма происходит как бы скачками: этапы бурного развития, зарождения новой формы сменяются плавными стадиями, в течение которых эта форма закрепляется и совершенствуется [8, 9]. Появлению новой формы предшествует «разметка» (pattern), т. е. намечаются линии будущих борозд и хребтов новой формы. Перед разметкой существенно повышается вариабельность.

Явление вариабельности на морфологическом и цитологическом уровнях было известно давно [9]. На биохимическом уровне оно было обнаружено и исследовано в работах группы Белоусова (см. [10, 11]). Было замечено, что на промежуточных этапах развития гидры распределение ряда веществ вдоль тела особи становится весьма нерегулярным — стохастическим. Этап стохастичности завершается, однако, образованием упорядоченной формы, распределение концентраций при этом становится плавным и одинаковым для всех представителей ансамбля. Иными словами, имеет место эквифинальность, т. е. конечная, характерная для данного вида и, следовательно, генетически предопределенная форма возникает, несмотря на хаотичность предшествующей стадии. Механизм, обеспечивающий эквифинальность, а также причины возникновения и исчезновения вариабельности являются в настоящее время предметом исследований.

Отметим также, что процесс разметки часто имеет характер распространения волны, или фронта, перестройки. При этом фронтальные клетки перестраиваются, взаимно ориентируются, иногда продвигаются (перетекают), так что за фронтом образуется

новая структура. Движение фронта замедляется в месте образования борозды, а затем фронт может снова сформироваться. Возможная роль и механизмы образования такого фронта составляют предмет дискуссий.

В целом, в развитии организма принимают участие многие различные физические и химические процессы. Среди них есть специфические, такие как перерепрессия генов и синтез специфических белков, и неспецифические — поглощение и усвоение субстратов, диффузия, изменение внутриклеточного давления и т. п. Последние играют в морфогенезе весьма важную роль. Например, механические натяжения и просто повышение давления могут вызывать образование венчика у ацетабулярии [12]. Неоднократно делались попытки выделить один какой-либо фактор и считать его главным и ответственным за морфогенез. Так, в работе [12] предполагалось, что главный фактор — механические напряжения. Нам представляется такой подход слйшком упрощенным. Каждый акт морфогенеза есть результат совокупного действия многих факторов.

Важно подчеркнуть здесь большую роль взаимодействия удаленных друг от друга участков объекта. «Дальнодействие» может быть обусловлено либо диффузией метаболитов, либо механическими напряжениями, либо потоками и движением самих клеток. Суммируя эти свойства, Дриш [9] выдвинул концепцию, согласно которой «судьба части ораганизма (например, клетки) есть функция ее положения в целом». Те же идеи в более конкретной форме были развиты Гурвичем [13] в его концепции «биологического поля», получившей в свое время широкую известность. Попытки связать «биологическое поле» с электромагнитным полем (единственным известным в те времена) не увенчались успехом. Не исключено, что электромагнитное излучение участвует, наряду с другими факторами, в морфогенезе, но считать его главным фактором, конечно, нельзя.

Из изложенного вытекают трудности математического моделирования процессов развития и, в частности, морфогенеза. Построить точную модель процесса, разумеется, невозможно и вряд ли нужно. В такой ситуации, как упоминалось, основная цель моделирования—ответить в общей форме на ряд принципиальных вопросов, вытекающих из особенностей процесса.

Итак, сформулируем вопросы, на которые хотелось бы получить ответ в результате моделирования.

1. При каких условиях возможно спонтанное нарушение симметрии и целостности формы? 2. Какова связь между процессами дифференциации и формообразования? 3. При каких условиях имеет место эквифинальность, т. е. образование формы, не зависящей от начальных условий? 4. Каковы причины, вызывающие увеличение, а затем уменьшение вариабельности, и какова роль последней в развитии биологических объектов?

Помимо этого моделирование может помочь в решении главной проблемы биологии развития — указать, каков способ записи

информаций о конечной форме в геноме И каковы механизмы реализации генетической информации в процессе развития.

Форма математической модели диссипативных структур определяется двумя основными требованиями: учетом «дальнодействия» и учетом нелинейных эффектов. Этим требованиям удовлетворяет система уравнений в частных производных (8.1), уже обсуждавшаяся ранее:

Подчеркнем, что форма учета дальнодействия членами типа является достаточно общей, она охватывает не только диффузию, но и другие процессы, в частности, взаимодействие за счет упругих сил.

В настоящее время имеется большое количество конкретных моделей ДС, построенных так, чтобы результаты моделирования имели феноменологическое сходство с наблюдаемым процессом. Эта цель, как правило, достигается с помощью расчетов на ЭВМ. Однако, на наш взгляд, большую ценность представляют также исследования аналитического характера. Аналитические методы исследования можно разделить на локальные и глобальные. Первые используются для выяснения условий «мягкого» возникновения ДС и основаны на линеаризации уравнений вблизи данного стационарного состояния. Эти условия были впервые исследованы Тюрингом (см. § 2 гл. 8). К локальным относится также метод определения формы ДС в случае, когда ее амплитуда мала и можно применять метод малого параметра (§ 3 гл. 8). Глобальных методов аналитического исследования ДС в общем случае не существует; однако имеются приемы, облегчающие качественное исследование в частных, но важных и распространенных случаях.

Так, большинство моделей содержит два нелинейных уравнения:

Систему (11.2) можно считать канонической формой уравнений ДС. Стационарные ДС удовлетворяют уравнениям

которые можно представить в виде

где вектор X имеет компоненты и вектор компоненты Формально (11.4) аналогично уравнениям движения частицы единичной массы на плоскости х, у под действием силы (при этом интерпретируется как время).

Стационарная периодическая ДС должна представляться замкнутой траекторией частицы. Выполнение этого условия в общем случае не тривиально. Действительно, поле сил непотенциально,

поскольку

и существование замкнутых траекторий в нем возможно лишь при особых условиях [14]. Однако в краевых задачах образования ДС на отрезке конечной длины замкнутые траектории вырождаются в линии и интеграл от по периоду равен нулю. Эти линии являются проекциями фазовых траекторий системы (11.3) на плоскость х, у, они могут быть нанесены на нее и дать наглядное представление о характере ДС.

В частном, но также весьма распространенном случае, когда коэффициенты диффузии сильно различаются (так что отношение малый параметр), возникают так называемые контрастные ДС. Методы их качественного исследования разработаны наиболее детально, чему посвящен следующий параграф.