Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Функции распределения клеток по размерамНаряду с распределением микроорганизмов по возрастам исследователи большое внимание уделяют функциям распределения по размерам. Фактически индивидуальный возраст клетки не поддается непосредственному измерению (если не иметь дела с синхронной культурой), тогда как размеры клеток определяются достаточно точно. Существует несколько различных методик определения размеров клеток, простейшей из которых является измерение линейных размеров по микрофотографиям, снятым со специально" приготовленных мазков [15]. Используются также более совершенные методы, дающие возможность построения практически непрерывных кривых распределения. Например, метод Коултера основан на измерении проводимости раствора в сосуде, разделенном на две части перегородкой с микроотверстием; при прохождении единичной живой клетки через отверстие проводимость раствора изменяется пропорционально объему этой клетки (подробнее см. монографию [16], а также [17, 18]). В настоящее время созданы автоматизированные устройства для комплексного статистического анализа клеток, соединенные с ЭВМ. Таким образом, получение экспериментальных кривых распределения клеток по размерам не встречает в настоящее время существенных трудностей. Более сложным является установление связи формы кривых распределения с физиологическим состоянием клеток и условиями их выращивания. Этому вопросу посвящены теоретические работы, содержащие модели роста клеточных популяций, распределенных по размерам. Наиболее последовательная теория ведет свое начало от работы Икмана и др. [19] и целой серии статей Белла и Андерсена [20], где из закона сохранения числа клеток выводится уравнение неразрывности для плотности распределения клеток по массам или по возрастам и объемам. На основании перечисленных выше работ запишем уравнение неразрывности для функции распределения клеток по объемам (см. [11]). Пусть
Полная производная по времени от
Первый член в левой части уравнения (4.33) представляет изменение функции
Убыль клеток в единицу времени из данного размера складывается из выноса их со скоростью протока
Если при делении каждой родительской клетки получается
Для бактерий в большинстве случаев можно считать, что родительская клетка делится на две дочерние
Для почкующихся клеток можно предположить, что почка отделяется от материнской клетки тогда, когда отношение ее размера к суммарному достигает некоторого предельного значения а. В этом случае функция
т. е. клетки после деления прибывают в разные размеры: дочерняя — в размер Введем далее нормированную функцию распределения
Учитывая (4.32), имеем условие нормировки для функции
Кроме полного числа клеток
Вместо уравнения (4.33) запишем систему двух уравнений, описывающих динамику числа клеток и изменение нормированной функции распределения клеток по размерам. Будем считать, что клетки делятся на две дочерние, т. е.
Запишем также соответствующее уравнение для концентрации биомассы:
Условие нормировки (4.37) заменяет граничное условие для функции распределения
Задача определения законов распределения клеток по размерам будет полностью определена, если задать начальное число клеток в культиваторе Будем решать стационарную задачу, т. е. предположим, что параметры системы не зависят от времени и культура в хемостате находится в равновесии: обыкновенное дифференциальное уравнение:
Условие сохранения числа клеток в культиваторе при
где слева стоит прибыль клеток в единицу времени за счет деления, а справа — убыль за счет вымывания. Условие сохранения массы клеток
Отметим, что для определения решения Для решения задачи необходимо задать 1. Клетки растут экспоненциально:
2. Объем клеток в промежутках между делениями увеличивается с постоянной скоростью:
Далее, нам надо выбрать модель клеточного деления для определения функции
Подчеркнем здесь еще раз, что под размера Связь между
Таким образом,
Рассмотрим сначала идеальный случай: все клетки делятся пополам, достигнув определенного размера
а скорость деления, как следует из (4.48), равна нулю при
Рис. 4.8. Кривые распределения числа клеток по объемам в случае деления при фиксированном размере В случае линейного роста клетки (4.47) аналогичные вычисления дают
Таким образом, нормированное распределение Перейдем теперь к более реалистической ситуации, когда размер деления является случайной функцией. При этом определение стационарного нормированого распределения «упреждающей» точке: Приближенное решение задачи в предположении гауссова распределения размеров деления и размеров дочерних клеток проведено в работе [21]. Используя несколько вариантов законов роста индивидуальной клетки (экспоненциальный, линейный, инверсный, кусочно-линейный), авторы рассчитывали теоретические кривые распределения клеток по массам Отметим здесь также направление моделирования, где элемент случайности вводится не в закон деления клетки, а в закон роста. В работе [22] предполагается, что размер I клетки возраста Мы в работах [23—25] решали аналогичную задачу в более простом варианте — деления бактерий-палочек точно пополам.
Рис. 4.9. Плотность распределения вероятностей деления клетки: а) условной, б) безусловной.
Рис. 4.10. Удельная скорость деления клетки. Сплошная линия — экспоненциальный закон роста клетки, пунктир — линейный. Предполагая, что все клетки имеют одинаковый диаметр и растут только в длину, в силу линейности уравнений мы можем вместо распределения по объемам Выберем в качестве закона распределения размеров деления ступенчатую функцию
т. е. предположим, что клетка не может делиться, пока не достигнет размера
Удельная скорость деления
Для линейно растущих клеток будет, соответственно,
Запишем теперь уравнение, которому удовлетворяет нормированная функция распределения клеток по длинам
Для случая экспоненциального роста, подставив
Для случая линейного роста клетки уравнение для функции распределения
где А — средний размер клетки:
Точно решить уравнения (4.57), (4.58) не представляется возможным, так как в правую часть уравнения для
Рис. 4.11. Распределение клеток по длинам при экспоненциальном законе роста. По осям отложены безразмерные величины Используя его в качестве функции источника, можно машинными методами найти решение на предыдущем участке Сравнение теоретических зависимостей хорошего совпадения теории с экспериментом как в предположении экспоненциального роста, так и линейного. Пример такого подбора приведен на рис. 4.13.
Рис. 4.12. Распределение клеток по длинам при линейном законе роста. Сплошные линии — Однако оптимальные значения параметров А соответствующие разным теориям, при этом оказались несколько различными, поэтому ответ на вопрос: по какому закону растут клетки? — может быть дан лишь в том случае, когда функция распределения «размеров деления»
Рис. 4.13. Сравнение экспериментального распределения тифозных бактерий-палочек по длинам (ломаная линия) [12] с теоретическим, вычисленным по линейной теории (плавная кривая): Итак, мы изложили в этом параграфе модели, в которых исследуется распределение микроорганизмов по размерам. Экспериментальные функции распределения нашли широкое применение для управления микробиологическим производством, в частности, для контроля стабильности культуры [26]. Сочетание модели с экспериментом позволит изучить более полно законы роста индивидуальных клеток, найти связь физиологических характеристик клеток с условиями роста культуры в целом. Внедрение машинных методов в обработку экспериментальных данных, о чем мы упоминали в начале параграфа, дает основание надеяться на успехи в этом направлении.
|
1 |
Оглавление
|