§ 6. Шумы и синхронизация

Для того чтобы учесть влияние шума, будем решать систему (10.2) с флуктуационными членами и Для случая, когда шумы в каждом генераторе независимы и -коррелированы по времени: решения (10.2) достаточно полно исследованы в работах [П47, 20-22]. Здесь мы укажем лишь основные результаты, полученные из укороченных уравнений для разностей фаз в присутствии шумов. Эти уравнения мало

отличаются от (10.6) и имеют вид

Если расстройки малы по сравнению с а интенсивности шумов малы по сравнению с то дисперсия флуктуаций разностей фаз между генераторами выражается следующим образом:

Следовательно, среднеквадратичное рассогласование фаз тем больше, чем больше расстояние между генераторами (или же между сечениями одномерного реактора в непрерывной модели), и тем меньше, чем больше произведение полосы синхронизации на амплитуду автоколебаний. Для релаксационных генераторов формула (10.37) также может быть использована для приближенных оценок. Так как при связи лишь по быстрой переменной с увеличением релаксационности уменьшается, то влияние шумов на разрушение синхронного режима возрастает.

Для наглядности размеры области синхронного кластера можно характеризовать величиной которая определяется из неравенства

В работах [20, 21] были сделаны оценки для размеров синхронных кластеров для двумерного и трехмерного пространства.

Рис. 10.7. Двумерное поле связанных диффузией автогенераторов и границы синхронных кластеров I, II и III при ; 1,25 соответственно.

Так как результаты получились достаточно нетривиальными, приведем их для полноты картины. Оказывается, что в случае трехмерного пространства синхронный кластер может быть безграничным, если интенсивность шума мала:

В случае двумерной сети генераторов кластер может иметь лишь ограниченные размеры. На рис. 10.7 представлена двумерная сеть генераторов, на которой точками изображены генераторы и указаны границы кластеров при различных уровнях шума. Один из генераторов бесконечной сети условимся обозначать нулевым индексом. Тогда координаты любого другого генератора легко определяются из рисунка. Дисперсия флуктуаций разности фаз между нулевым генератором и генератором с координатами вычисляются по формуле

На рис. 10.7 изображены три замкнутые кривые, которые соответствуют величинам интегралов

Соответствующие интенсивности шумов которые еще допускают синхронный режим внутри указанных границ кластеров, задаются формулой

Заметим, что интеграл при имеет асимптотическую оценку

В этом случае «радиус» синхронного кластера можно оценить по формуле

Важно, что формулы (10.42), (10.43) пригодны для оценок границ синхронных кластеров как для квазигармонических автоколебательных систем, так и для релаксационных.

В заключение сопоставим выводы теории и важные экспериментальные факты. Дело в том, что такие интересные АВ-процессы, связанные с несинфазностью всего пространства, как ведущие центры (ВЦ), обычно наблюдаются в длинных трубках (одномерных реакторах) или в «плоских» двумерных реакторах (в последних осуществляется также и режим ревербераторов). В больших колбах, т. е. в трехмерном пространстве реакции Белоусова — Жаботинского легко синхронизуются при небольшом перемешивании и волны отсутствуют.