ГЛАВА III. ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

3-1. Основные положения

Главный вектор системы сил равен геометрической сумме сил данной системы

Проекция главного вектора системы сил на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций всех сил системы на ту же, ось:

Величина и направление главного вектора системы находятся по формулам:

Главный момент плоской системы сил относительно какой-нибудь точки О равен алгебраической сумме моментов всех сил этой системы относительно той же точки:

если есть точка приложения силы , a - проекции силы на координатные оси (рис. 30), то аналитическое выражение момента силы относительно начала координат будет:

Главный момент системы относительно начала координат:

Главный момент системы относительно точки В:

Система сил, как угодно расположенных на плоскости, в общем случае может быть приведена к одной силе, приложенной в произвольной точке О плоскости и равной главному вектору системы, и к паре сил момент которой равен главному моменту этой системы относительно той же точки:

причем:

Рис. 30.

При сложении плоской системы сил (приведение плоской системы сил к центру О) возможны следующие случаи:

1. Если главный вектор системы не равен нулю, а главный момент этой системы относительно точки О равен нулю:

то система сил равносильна равнодействующей, приложенной в точке О и равной главному вектору.

Уравнение прямой действия равнодействующей — центральной оси системы будет:

где х, у — текущие координаты прямой, а начало координат совпадает с точкой приведения О.

2. Если главный вектор системы равен нулю, а главный момент относительно точки О не равен нулю:

то данная система равносильна паре сил, момент которой равен главному моменту системы.

3. Если главный вектор и главный момент системы относительно точки О плоскости не равны нулю:

то данная система равносильна равнодействующей, равной главному вектору системы. Расстояние центра приведения О от центральной оси системы определяется по формуле:

Уравнение центральной оси будет:

где х, у — текущие координаты прямой, а начало координат совпадает с центром приведения О.

4. Если главный вектор и главный момент системы относительно точки О плоскости равны нулю

то система сил находится в равновесии.

План решения задач

1. Выбираем систему координат (если система не задана по условию задачи).

Для упрощения решения задачи за начало координат следует брать точку пересечения наибольшего числа прямых действия сил системы, а оси системы координат направлять так, чтобы можно было проще находить проекции сил на оси.

2. Находим проекции главного вектора системы сил на оси выбранной системы координат по формулам

3. Определяем величину и направление главного вектора системы по формулам

4. Находим главный момент системы относительно начала координат по формуле

5. Находим уравнение центральной оси системы по формуле (3-10) или по формуле (3-14), если система не равносильна паре сил.

6. Определяем расстояние начала координат от центральной оси по формуле (3-13).

3-2. Решение задач

Задача 6. К вершинам и С равностороннего треугольника со стороной приложены силы (рис. 31).

Привести систему к простейшему виду и определить равнодействующую данной системы сил.

Решение 1. Выбираем систему координат, как указано на рис. 32.

Рис. 31.

Рис. 32.

2. Находим проекции главного вектора системы на оси выбранной системы по формулам :

Следовательно,

3. Определяем величину и направление главного вектора по формулам :

; следовательно,

4. Находим главный момент системы относительно начала координат по формуле :

итак,

Следовательно, имеет место третий случай приведения плоской системы сил к полюсу.

5. Находим уравнение центральной оси системы по формуле (3-14):

6. Определяем расстояние центральной оси (рис. 32) от начала координат по формуле (3-13):

Задача 7, К вершинам прямоугольного треугольника приложены силы (рис. 33).

Рис. 33.

Рис. 34.

Определить отношение длин катетов треугольника, при котором система равносильна равнодействующей, проходящей через вершину А треугольника, если

Решение. 1. Выбираем систему координат, как указано на рис. 34.

2. Находим проекции главного вектора системы на оси координат по формулам :

следовательно,

3. Определяем величину и направление главного вектора по формулам :

4. Находим главный момент системы относительно точки А но формуле :

итак,

так как по условию задачи. Получаем:

таким образом, приходим к биквадратному уравнению относительно

Из этого уравнения находим а.

При этом значении система равносильна равнодействующей, проходящей через начало координат

5. Определяем уравнение центральной оси системы по формуле (3-10):

Задача 8. К вершинам трапеции приложены силы

Привести эту систему сил к простейшему виду, если (рис. 35), и определить, чему эквивалентна система?

Решение. 1. Выбираем систему координат, как указано на рис 36.

2. Находим проекции главного вектора системы на оси координат по формулам :

Следовательно,

Рис. 35.

Рис. 36

3. Определяем главный момент системы относительно начала координат по формуле :

Итак, данная система эквивалентна паре сил, момент которой равен —

Задача 9. Система состоит из трех сил:

Привести систему к простейшему виду и определить, чему эквивалентна система?

Решение. 1. Находим проекции главного вектора системы сил на данные оси системы координат по формулам :

Следовательно,

2. Определяем величину и направление главного вектора системы по формулам :

3. Находим главный момент системы относительно начала координат по формуле :

Следовательно, система эквивалентна одной силе, равной главному вектору системы (третий случай приведения плоской системы сил к полюсу).

Рис. 37.

4. Находим уравнение центральной оси системы по формуле (3-14):

5. Определяем расстояние центральной оси от начала координат по формуле (3-13):

Задача 10. Система состоит из трех сил;

Привести систему к простейшему виду и определить, чему эквивалентна эта система, если и силы направлены так, что стремятся вращать плоскость относительно начала координат против направления вращения часовой стрелки (линейные размеры в метрах).

Решение. Коэффициенты при координатах х, у и свободные члены уравнений обозначены соответственно буквами где порядковый номер каждой из трех данных сил.

1. Находим проекции главного вектора системы на оси системы координат по формулам :

(кликните для просмотра скана)

3. Находим главный момент системы относительно начала по формуле :

где

следовательно,

получаем:

Рис. 38.

Отсюда следует, что данная система эквивалентна одной силе, равной главному вектору системы (третий случай приведения плоской системы сил к полюсу).

4. Находим уравнение центральной оси системы по формуле (3-14):

5. Определяем расстояние центральной оси от начала координат по формуле (3-13):

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)