ГЛАВА XVI. УСКОРЕНИЕ ТОЧЕК ТЕЛА В ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ

16-1. Решение задач при нахождении ускорений точек плоской фигуры с помощью формулы распределения ускорений

План решения задач

1. Изображаем точку, ускорения которой нужно найти, в данный момент времени.

2 Выбираем полюс — такую точку плоской фигуры, ускорение которой известно или ускорение которой можно легко найти по условию задачи.

3. Находим вектор ускорения полюса

4. Изображаем вектор ускорения полюса, приложив его в той точке, ускорение которой нужно найти по условию задачи.

5. Находим ускорение данной точки, получившееся оттого, что плоская фигура вращается вокруг полюса с угловой скоростью :

6. Изображаем вектор

7. Находим ускорение данной точки, получившееся оттого, что плоская фигура вращается с угловым ускорением вокруг полюса

8. Изображаем вектор

9. Находим величину и направление вектора полного ускорения данной точки, используя аналитический способ нахождения геометрической суммы.

Задача 68. Кривошип вращается вокруг оси О с угловой скоростью и ускорением Определить ускорение точки В шестерни 2, насаженной свободно на ось К и катящейся без скольжения по неподвижной шестерне если

Рис. 190.

Рис. 191.

Решение. Шестерня 2 совершает плоскопараллельное движение, следовательно, для вычисления ускорения точки В можно применить формулу:

1. Изображаем точку В в данный момент времени (рис. 191).

2. Выбираем полюс, такую точку шестерни 2, ускорение которой можно найти по условию задачи. Такой точкой является точка К, принадлежащая одновременно шестерне 2 и кривошипу

3. Находим вектор ускорения полюса Так как точка К принадлежит кривошипу вращающемуся вокруг оси О с угловой скоростью и угловым ускорением то

4. Изображаем составляющие полного ускорения точки К, приложив их к точке В.

5. Находим ускорение точки В, получившееся оттого, что шестерня 2 вращается вокруг полюса К с угловой скоростью

По теореме о независимости угловой скорости от выбора полюса (по теореме 1) заключаем, что со где мгновенная

угловая скорость вращения шестерни 2 вокруг мгновенного центра скоростей точка касания шестерни 2 с неподвижной шестерней 1 имеет в данный момент скорость, равную нулю, так как шестерня 2 катится без скольжения по неподвижной шестерне Для нахождения угловой скорости находим скорость точки К. Так как точка К принадлежит кривошипу то Но точка К, принадлежит и шестерне 2, вращающейся в данный момент вокруг мгновенного центра скоростей поэтому следовательно,

6. Изображаем вектор направленный к полюсу К.

7. Находим ускорение точки В, получившееся оттого, что шестерня 2 вращается вокруг полюса К с угловым ускорением

Для нахождения нужно продифференцировать равенство по времени:

следовательно,

Таким образом,

8. Изображаем вектор Этот вектор направлен в сторону вращения шестерни 2, так как вращение ускоренное:

9. Находим величину и направление вектора полного ускорения точки В с помощью аналитического способа нахождения величины и направления геометрической суммы:

Задача 69. Кривошип см вращается равномерно вокруг оси О с угловой скоростью (рис. 192). Определить ускорение ползуна В в тот момент, когда если длина шатуна см.

Рис. 192.

Решение. Ползун В движется поступательно, следовательно, ускорения всех его точек одинаковы и равны ускорению конца В стержня KB (К и В — цилиндрические шарниры). Стержень совершает плоскопараллельное движение, поэтому для нахождения ускоренся точки В можно воспользоваться формулой:

1. Изображаем точку В в данный момент (рис. 193).

2. Выбираем полюс — такую точку стержня ускорение которой можно найти.

Рис. 193.

Такой точкой является точка К, принадлежащая одновременно шатуну и кривошипу вращающемуся равномерно вокруг оси О.

3. Находим ускорение полюса. Так как кривошип вращается равномерно вокруг оси О, то

Вектор направлен к оси О.

4. Изображаем вектор приложив его к точке В.

5. Находим ускорение точки В, получившееся оттого, что стержень вращается вокруг полюса К с угловой скоростью со:

По теореме о независимости угловой скорости вращения плоской фигуры от выбора полюса (теорема 1), заключаем, что где мгновенная угловая скорость вращения стержня вокруг мгновенного центра скоростей точка пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках к скоростям этих точек):

По данным величинам задачи находим, что

6. Изображаем вектор (этот вектор направлен к полюсу К).

7. Находим ускорение точки В, получившееся оттого, что стержень вращается вокруг полюса К с угловым ускорением

Так как точка В движется по оси то следовательно,

Угол находим по теореме синусов из Таким образом, см/сек.

8. Находим величину и направление вектора полного ускорения точки В. Так как вектор ускорения точки В лежит на оси то

Следовательно,

Знак минус показывает, что ускорение точки В в данный момент направлено к оси О.

Упражнения

(см. скан)