IV. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ГЛАВА XII. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12-1 Основные положения

Движение твердого тела называется поступатеяьным, если» любой прямолинейный отрезок неизменно связанный с телом остается в процессе движения параллельным самому себе

Траектории всех точек поступательно движущегося тела представляют собой тождественные кривые, т. е. такие кривые, которые при наложении друг на друга сливаются всеми своими точками. Скорости всех точек поступательно движущегося тела векторно равны между собой

Ускорения всех точек поступательно движущегося тела векторно равны между собой:

Движение твердого тела называется вращательным, если в движущемся теле или вне его существует прямая называемая осью вращения которая остается неподвижной во время движения тела, и если плоскость проведенная через эту прямую и произвольную точку тела, совершает поворот вокруг этой прямой.

Законом (уравнением) вращения твердого тела вокруг неподвижной оси называется равенство, при помощи которого задается угол поворота тела как функция времени

где угол поворота угол между неподвижной плоскостью проходящей через ось вращения и плоскостью неизменно «связанной с телом и проходящей также через ось вращения Угол отсчитывается в направлении, противоположном движению часовой стрелки если смотреть с положительного конца оси вращения

Проекция вектора угловой скорости вращения тела на ось вращения равна первой производной по времени от угла поворота тела:

Рис. 145

Если то тело вращается в сторону положительного отсчета угла и в обратную сторону, если

Модуль вектора угловой скорости вращения тела равен абсолютной величине первой производной по времени от угла поворота тела:

Проекция вектора углового ускорения тела на ось вращения равна второй производной по времени от угла поворота тела:

Модуль вектора углового ускорения тела равен абсолютной величине второй производной по времени от угла поворота тела:

Вращение твердого тела называется равномерным, если проекция вектора угловой скорости на ось вращения — постоянная величина. При равномерном вращении угол повороы изменяется в зависимости от времени но линейному закону:

Вращение тела называется равнопеременным, если проекция углового ускорения на ось вращения — постоянная величина:

При равнопеременном вращении тела угол поворота изменяется в зависимости от времени по квадратичному закону, а проекция угловой скорости на ось вращения по линейному закону:

где при вращение равноускоренное, а при вращение равнозамедленное.

Рис. 146.

Кривая, изображающая на чертеже закон (уравнение) вращения тела в системе координат называется графиком вращения (рис. 146). Если величины изображены на графике в одинаковом масштабе, то проекция угловой скорости вращения тела на ось вращения равнл тангенсу угла наклона касательной к кривой графика вращения:

Кривая изображающая на чертеже проекцию угловой скорости тела на ось вращения как функцию времени в системе координат называется графиком угловой скорости (рис. 147). Если величины изображены на графике в одинаковом масштабе, то проекция углового ускорения тела на ось вращения равна тангенсу угла наклона касательной к кривой графика угловой скорости:

Рис. 147.

Суммарный угол поворота, описанный вращающимся телом, равен площади, ограниченной осью времени, кривой графика угловой скорости и ординатами, соответствующими началу и концу рассматриваемого движения (рис 147):

Вектор угловой скорости вращения тела лежит на оси вращения и направлен так, что если смотреть с его конца, мы должны видеть, что тело вращается против направления

вращения часовой стрелки Абсолютная величина вектора угловой скорости равна Начало -ого вектора совпадает с произвольной точкой О оси вращения (рис 148).

Вектор углового ускорения тела лежит на оси вращения и направлен как вектор угловой скорости, если тело вращается ускоренно рис. 149), в противоположную сторону, — если тело вращается замедленно рис 150).

Рис. 148

Рис. 149

Рис. 150.

Точка приложения вектора углового ускорения — произвольная точка оси вращения, а абсолютная величина угого вектора равна

Вектор скорости точки вращающегося тела равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус — вектор данной точки (рис 151).

Модуль вектора ости точки вращающегося тела равен произведению величины угловсй скорости тела на кратчайшее расстояние точки до оси вращения:

Рис. 151

Вектор ускорения точки вращающегося тела равен геометрической сумме стедующих двух слагаемых: 1) векторного произведения вектора углового ускорения на радиус-вектор данной точки, 2) векторного произведения вектора угловой скорости тела на вектор скорости данной точки:

Касательная составляющая ускорения точки вращающегося тела равна векторному произведению вектора углового

ускорения тела на радиус-вектор данной точки (рис 152):

Проекция ускорения точки вращающегося тела на касательную к траектории точки равна произведению углового ускорения тела на кратчайшее расстояние точки от оси вращения:

Нормальная составляющая ускорения точки вращающегося тела равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на вектор скорости данной точки (рис. 152):

Проекция ускорения точки вращающегося тела на главную нормаль к траектории точки равна произведению квадрата угловой скорости тела на кратчайшее расстояние точки до оси вращения:

Величина ускорения точки вращающегося тела вычисляется по формуле:

Направление ускорения этой точки определяется углом:

Угловая скорость со связана с числом формулой:

Рис. 152