II. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

ГЛАВА VI. СИЛЫ, ЛИНИИ ДЕЙСТВИЯ КОТОРЫХ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ

6-1. Основные положения

Совокупность сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся системой сил.

Для того, чтобы система сходящихся сил в пространстве находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на три взаимно перпендикулярных оси равнялись нулю:

Проекция силы на ось

Из рис. 88 видно, что где составляющая параллельна оси составляющая параллельна плоскости Используем следующую теорему: проекция равнодействующей на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций составляющих на ту же ось:

но

Обозначая получаем

Но проекция данной силы на одну из координатных

плоскостей, проходящих через ось проекций. Следовательно,

Таким образом, приходим к следующему правилу.

Для того, чтобы найти проекцию силы на какую-нибудь из координатных осей, нужно сначала эту силу спроектировать на одну из координатных плоскостей, проходящих через ось проекций, а затем полученную проекцию спроектировать на данную ось.

Рис. 88

Отсюда следует, что если: перпендикулярна плоскости то перпендикулярна плоскости то перпендикулярна плоскости то

Решаем задачи, придерживаясь следующего плана:

1. Выделяем материальную систему (тело или материальную частицу), равновесие которой следует рассмотреть.

2. Изображаем активные силы, действующие на материальную систему, равновесие которой рассматриваем.

3. Освобождаем эту систему от связей, заменяя действие связей реакциями.

4. Выбираем систему координат.

5. Составляем уравнения равновесия:

6. Решаем полученные уравнения.

6-2. Решение задач.

Задача 23. К узлу треноги (рис. 89) приложена сила лежащая в плоскости симметрии треноги и направленная под углом к стержню Определить усилия в стержнях и если правильный тетраэдр шарниры. Весами стержней пренебречь.

Решение. 1. Рассматриваем равновесие узла (рис. 90).

2. На узел действует активная сила

3. Освобождаем узел от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями являются стержни и Реакции стержней направлены по стержням. Направляем эти реакции от

узла, предполагая, что все стержни работают на растяжение. Будет ли это так, покажет результат решения задачи.

4. Выбираем систему координат, как указано на рис 90

Рис. 89

Рис. 90

5 Составляем уравнения равновесия: —

Здесь через обозначен

6. Решаем полученные уравнения. Из уравнения : Обозначаем тогда

Из рис. 91 видно, что

Следовательно,

Из уравнения (6-3):

Из уравнения (6-5):

Рис. 91

Решая уравнения и совместно, получаем — Знак минус показывает, что стержень работает на сжатие.

Задача 24. На рис. 92 изображена пространственная ферма, составленная из шести стержней Сила действует на узел А в плоскости прямоугольника при этом линия ее действия составляет с вертикалью угол

Углы равнобедренных треугольников и при вершинах прямые. Определить, усилия в стержнях, если

Решение. Рассматриваем равновесие у зла (Рис. 93).

1. Изображаем силу действующую на узел

2. Освобождаем узел от связей, заменяя действие связей реакциями.

Рис. 92

Рис. 93

Связями являются стержни и Реакции стержней направляем от узла, предполагая, что стержни работают на растяжение.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 93.

4. Составляем уравнения равновесия:

Рассматриваем равновесие узла В. (Рис. 94).

1. Освобождаем узел В от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями являются стержни Реакции стержней направляем от узлов, предполагая, что стержни работают на растяжение. Причем по принципу равенства действия и противодействия

2. Выбираем систему координат, как указано на рис. 94.

3. Составляем уравнения равновесия:

4. Решаем полученную систему шести уравнений:

Получаем:

Рис. 94

Следовательно, стержни I, 2, 3, 6 работают на сжатие.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)