Глава VII. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

7-1. Основные положения

Главный вектор системы сил равен геометрической сумме сил данной системы:

Проекция главного вектора системы сил на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций всех сил системы на ту же ось:

Величина и направление главного вектора системы сил находятся по формулам:

Главный момент системы сил относительно какой-нибудь точки пространства равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно той же точки:

Проекция главного момента системы относительно точки на любую ось, проходящую через эту точку, равна алгебраической

сумме моментов всех сил системы относительно этой оси:

Величина и направление главного момента системы относительно точки находятся по формулам:

Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 95):

Рис. 95

Для того, чтобы найти момент силы относительно какой-нибудь оси, нужно эту силу спроектировать на плоскость, перпендикулярную к оси, а затем взять со знаком плюс или минус произведение величины этой проекции на ее кратчайшее расстояние от точки пересечения оси с плоскостью. Знак плюс у произведения берется тогда, когда проекция силы стремится вращать плоскость проекции против направления вращения часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси, в противном случае берется знак минус.

Из рис. 95 видно, что . Следовательно, момент силы относительно оси равен нулю, если:

1) линия действия силы параллельна оси;

2) линия действия силы пересекает ось.

Если есть точка приложения силы проекция силы на координатные оси, то аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей будут:

Главные моменты системы относительно координатных осей будут:

Система сил, как угодно расположенных в пространстве, в общем случае может быть приведена к одной силе, приложенной в произвольной точке пространства и равной главному вектору данной системы сил, и к паре сил момент которой равен главному моменту этой системы относительно той же точки:

причем, тот

При сложении пространственной системы сил (приведение пространственной системы сил к центру О) возможны следующие случаи:

1. Если главный вектор системы не равен нулю, а главный момент этой системы относительно точки О равен нушо:

то система равносильна равнодействующей, приложенной в точке О и равной главному вектору.

Уравнение прямой действия равнодействующей — центральной оси системы — будет:

где текущие координаты прямой, а начало координат совпадает с центром приведения О.

2. Если главный вектор системы равен нулю, а главный момент относительно точки О не равен нулю:

то система равносильна паре сил, момент которой равен главному моменту системы.

3. Если главный вектор и главный момент системы относительно точки О не равны нулю и перпендикулярны друг другу:

то система равносильна равнодействующей, равной главному вектору системы. Расстояние центра приведения О от прямой действия равнодействующей (центральной оси системы) определяется по формуле:

Уравнение центральной оси системы будет:

При условиях (7-14) прямая действия равнодействующей определяется двумя какими-нибудь из следующих трех уравнений:

где текущие координаты системы, а начало координат совпадает с центром приведения О.

4. Если главный вектор и главный момент системы относительно точки О не равны нулю и не перпендикулярны друг другу:

то система равносильна динамическому винту, т. е. равносильна паре сил и силе, равной главному вектору и перпендикулярной плоскости пары.

Расстояние центра приведения О от центральной оси определяется по формуле:

Уравнение центральной оси системы определяется формулой (7-16). Параметр винта определяется по формуле;

причем, если то имеет место правый винт, в противном случае — левый.

5. Если главный вектор и главный момент системы относительно произвольной точки О равны нулю:

то система сил находится в равновесии.

План решения задач

1. Выбираем систему координат, если система координат не задана по условию задачи.

Для упрощения решения задачи оси координат нужно направлять так, чтобы одна часть прямых действия сил пересекала оси координат, другая часть была бы параллельна этим осям.

2. Находим проекции главного вектора системы сил на оси выбранной системы координат по формулам

3. Определяем величину и направление главного вектора системы по формулам

4. Находим проекции на оси координат главного момента системы, взятого относительно начала координат, по формулам

5. Определяем величину и направление главного момента системы относительно начала координат по формулам

6. Если то данная система сил имеет центральную ось, уравнение которой будет: в случае, когда в виде (7-12), в случае, когда в виде (7-16), в общем случае, когда в виде (7-16).

7. Определяем расстояние начала координат от центральной оси системы по формуле (7-15) или по формуле (7-18).

7-2. Решение задач

Задача 25. К вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 96) приложены силы

Рис. 96

Рис. 97

Привести систему к простейшему виду, если

Решение. 1. Выбираем систему координат, как указано на рис. 97.

2. Находим проекции главного вектора системы сил на оси выбранной системы координат по формулам :

3. Определяем величину и направление главного вектора системы по формулам :

следовательно,

4. Находим проекции на оси координат главного момента системы, взятого относительно начала координат, по формулам

тогда

Следовательно,

отсюда

Итак,

5. Определяем величину и направление главного мимента системы относительно начала координат но формулам

Получаем:

Таким образом в данном случае имеет место первый случай приведения пространственно системы сил к центру

т. е. эта система равносильна равнодействующей, приложенной к началу координаг А и равной главному вектору системы

6. Находим уравнение центральной оси системы — уравнение прямой действия равнодействующей по формуле 18 12)

Получаем

Эта прямая проходит через начало коор шпат и 182а; а) (рис 97).

Задача 26. Три силы приложены к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 98).

Рис. 98.

Рис. 99.

Привести систему к простейшему пилу если

Решение. 1. Выбираем координат, как указано на рис. 99

2. Находим проекции [лавного вектора системы сил на оси ьыбранной системы координат по формулам

3. Определяем величину и направление главного вектора сиаемы по формулам :

Следовательно,

4. Находим проекции на оси координат главного момента системы взятого относительно начала координат, по формулам

отсюда:

5. Определяем величину и направление главного момента системы относительно начала координат по формулам ;

Получим

так как выполняется условие

Таким образом, в данном случае имеет место третий случай приведения пространственной системы сил к центру (7-14), т. е система равносильна равнодействующей, равной главному вектору системы.

6. Находим уравнение центральной оси системы (прямой действия равнодействующей) по формулам (7-16) и получаем:

полагая находим ; полагая находим Следовательно, центральная ось проходит череэ точку и точку (рис. 99).

7. Находим расстояние начала координат до центральной оси по формуле (7-15):

Задача 27. К вершинам призмы приложены силы Привести систему к простейшему виду, если

Решение 1. Выбираем систему координат, как указано на рис 101,

Рис. 100

Рис. 101.

2 Находим проекции главного вектора системы на оси выбранной системы координат по формулам

Следовательно,

3. Определяем величину и направление главного вектора системы по формулам :

Следовательно, прямая действия главного вектора системы лежит в плоскости и наклонена под углом 127° к оси

4. Находим проекции на оси координат главного момента системы, взятого относительно начала координат, по формулам :

Следовательно,

5. Определяем величину и направление главного момента системы относительно начала координат по формулам :

Следовательно, вектор лежит в плоскости и направлен под углом 76° к оси Таким образом, получаем:

так как,

В данном случае имеет вместо четвертый случай приведения пространственной системы сил к центру 7-17), система равносильна динамическому винту.

6. Находим уравнение центральной оси системы в виде (7-16):

получаем

Центральная ось системы лежит в плоскости, параллельной плоскости отстоящей от нее на расстоянии 0,58 а, и проходит через точки и

7. Определяем расстояние начала координат до центральной оси системы по формуле (7-18)

Для нахождения угла между главным вектором и главным моментом системы используем формулу:

получаем:

Следовательно,

Приходим к выведу, что данная система эквивалентна одной силе, равной главному вектору системы лежащей на центральной оси и паре сил плоскость которой перпендикулярна центральной оси.

Величина вектора момента этой пары параметр винта (правый винт так как 0).

Задача 28. К вершинам пирамиды приложены силы Привести систему к простейшему виду, если рис. 102).

Решение. 1. Выбираем систему координат, как показано на рис. 103.

2. Находим проекции главного вектора системы сил на оси выбранной системы координат по формулам :

Следовательно,

3. Определяем величину и направление чавного вектора системы по формулам :

Рис. 102

Рис. 103

Получаем

4 Находим проекции на оси координат главного момента системы, взятого относительно начала координат но формулам

Следовагельно,

5. Определяем величину и направление главного момента системы относительно начала координат, по формулам :

Таким образом, получили:

В данном случае имеет место второй случай приведения пространственной системы сил к центру (7-13), т. е. система равносильна паре сил, момент которой равен главному моменту

Задача 29. Система сил состоит из трех:

(Линейные размеры в метрах.)

Привести систему к простейшему виду.

Решение. 1. Находим проекции главного вектора системы оси системы координат по формулам :

2. Определяем величину и направление главного вектора по формулам (7-3):

3 Находим проекции на оси координат главного момента системы, взятого относительно начала координат, по формулам :

4. Определяем величину и направление главного момента системы относительно начала координат системы по формулам (7-6):

Так как выполняется условие

то данная система равносильна динамическому винту

5. Находим уравнение центральной оси системы по формуле (7-16):

Получаем:

Полагая находим и. Полагая находим

Спедовательно, центральная ось системы проходит через точки

6. Определяем расстояние начала координат до центральной оси системы по формуле (7-18):

Для нахождения угла между главным вектором и главны» моментом системы используем формулу:

Получаем:

Спедовательно,

Итак данная система эквивалентна одной силе, равной главному вектору системы, лежащей на центральной оси и паре сил, плоскость которой перпендикулярна центральной оси

Величина вектора момента ьтой парь параметр винта Левый винт так как

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)