ГЛАВА VIII. РАВНОВЕСИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

8-1. Основные положения

Для того, чтобы силы, как угодно расположенные в пространстве, находились в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций на три взаимно перпендикулярные оси и суммы моментов всех сил системы относительно тех же осей равнялись нулю.

Для облегчения решения задачи рекомендуется так выбирать оси, чтобы линия действия той силы, момент которой вычисляется сложно, пересекала какую-нибудь ось. При нахождении момента силы относительно оси для таких сил выгодно применять третью теорему Вариньона: момент равнодействующей относительно какой-нибудь оси равен алгебраической сумме моментов составляющих относительно той же оси:

Данную силу следует разложить на такие составляющие, моменты которых легко вычисляются (см. решение задачи 32).

При решении задач будем придерживаться следующего плана:

1. Выделяем материальную систему (тело), равновесие которой следует рассмотреть.

2. Изображаем активные силы, действующие на материальную систему, равновесие которой рассматриваем.

3. Освобождаем эту систему от связей, заменяя действие связей реакциями.

4. Выбираем систему координат.

5. Составляем уравнение равновесия:

6. Решаем полученные уравнения.

8-2. Решение задач

Задача 30. На шкив О веса с горизонтальной осью вращения веса намотан канат, конец которого перекинут через блок К (рис. 104). К концу каната привязан груз веса

Рис. 104

На ручку действует сила лежащая в плоскости, перпендикулярной к оси Определить реакции подшипников и силу при равновесии системы, если радиус шкива лежит в плоскости, перпендикулярной к оси

Решение 1. Рассматриваем равновесие шкива О вместе с осью и ручкой (рис 105).

2 Изображаем активные силы, действующие на шкив и ось: Так как блок К считаем идеальным, то натяжение каната будет равно весу груза

3. Освобождаем ось от связей, заменяя действие связей реакциями, Связями являются подшипники Так как активные силы, действующие на объект равновесия (шкив — вал), лежат в плоскостях, перпендикулярных к оси то реакции и также лежат в плоскостях, перпендикулярных к оси Эти реакции раскладываем на составляющие и

4. Выбиргем систему координат, как указано на рис. 108.

5. Составляем уравнения равновесия:

Рис. 105

Уравнение обращается к тождество

6. Решаем полученные уравнения.

Из уравнения

Из уравнения Из уравнения

Из уравнения

Из уравнения

Ответ.

Задача 31. Однородная прямоугольная крышка (рис. 106) веса наклонена под углом к вертикальной плоскости и удерживается в таком положении при помощи сферического шарнира О, цилиндрического шарнира А и нити CD,

расположенной в горизонтальной плоскости. Определить реакции шарниров и нити, если

Решение Рассматриваем равновесие крышки (рис 107).

Рис. 106

Рис. 107

2. Изображаем активную силу вес крышки.

3. Освобождаем крышку от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями являются; сферический шарнир 0, цилиндрический шарнир и нить Реакцию сферического шарнира раскладываем на три составляющие: Реакцию цилиндрического шарнира раскладываем на две составляющие:

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 107. В этом случае сила не дает момента относительно оси что облегчает решение задачи

5. Составляем уравнения равнонесня:

где

6. Решаем полученную систему уравнений:

Из уравнения (8-13):

Из уравнения (8-12):

Из уравнения (8-11):

Из уравнения (8-10): Из уравнения :

Из уравнения :

Ответ:

Задача 32. Дверь веса затворяется при помощи груза веса подвешенного на веревке перекинутой через блоки (рис. 108).

Рис. 108.

Рис. 109.

Дверь, открытая на угол удерживается в равновесии силой приложенной в точке К. Эта сила лежит в плоскости, проходящей через перпендикулярно к плоскости двери, и направлена под углом к линии Определить реакцию подпятника А, подшипника В и силу если ;

Решение. 1. Рассматриваем равновесие двери (рис. 109).

2. Изображаем активные силы, действующие на дверь: вес двери, вес груза Так как идеальные блоки, то натяжение веревки будет равно весу груза

3. Освобождаем дверь от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями являются: а) подпятник и б) подшипник В. Реакцию подпятника раскладываем на три взаимно перпендикулярные составляющие Реакцию подшипника раскладываем на две взаимно перпендикулярные составляющие

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. Составляем уравнения равновесия:

При составлении уравнений используем рис. 110 (вид сверху):

При составлении четвертого уравнения все силы нужно проектировать на плоскость и брать моменты этих проекций относительно точки А:

Рис. 110.

При составлении пятого уравнения все силы нужно проектировать на плоскость и брать моменты этих проекций относительно точки А:

При составлении шестого уравнения все силы нужно проектировать на плоскость и брать моменты этих проекций относительно точки А:

При вычислении моментов силы относительно осей использовали теорему Вариньона, разложив эту силу на составляющие составляющая, перпендикулярная

и составляющая, параллельная оси причем

6. Решаем полученную систему уравнений:

Из уравнения (8-19):

Из уравнения (8-18):

Из уравнения (8-17):

Из уравнения (8-16):

Из уравнения (8-15):

Из уравнения (8-14): Ответ

Задача 33. Определить реакцию сферического шарнира А и натяжение оттяжек и столба (рис. 111), вызываемые горизонтальной равнодействующей натяжений проводов и парой сил, вектор-момент которой лежит в горизонтальной плоскости и равен если

Решение. 1. Рассматриваем равновесие столба (рис. 112)

2 Изображаем активные силы, действующие на столб: и пара сил с моментом

3 Освобождаем столб связей, заменяя действие связей силами-реакциями связей.

составляющие реакции сферического шарнира. реакция оттяжки — реакция оттяжки Итак, имеем: пара сил с моментом

Рис. 111.

Рис. 112.

4. Выбуграем систему координат, как указано на рис. 112.

5 Составляем уравнение равновесия

При составлении уравнений (8-20), (8-21), (8-22) использовано то положение, что сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. А при составлении уравнений (8-23) и (8-24) учитывались следующие две теоремы:

1. Геометрическая сумма моментов сил пары относительно любой точки пространства равна вектору-моменту пары.

2. Проекция вектора-момента силы относительно любой точки на ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы относительно данной оси.

Поэтому при составлении суммы моментов всех сил пары относительно какой-нибудь оси, вектор-момент лары нужно проектировать на эту ось.

6. Решаем полученные уравнения. Из уравнения (8-24)

Из уравнения (8-23):

Из уравнения (8-20):

Из уравнения (8-21):

Из уравнения (8-22):

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)