22-3. Принцип Даламбера-Лагранжа (Общее уравнение динамики системы)

Для того, чтобы составить общее уравнение динамики системы с идеальными связями, нужно сумму элементарных работ на любом возможном перемещении системы всех активных сил, действующих на систему, и сил инерции точек системы приравнять нулю:

План решения задач

1. Выделяем и изображаем систему в текущий момент времени.

2. Изображаем активные силы, действующие на систему.

3. Прикладываем силы инерции точек системы.

4. Выбираем систему координат.

5. Составляем уравнение динамики системы:

6. Решаем полученное уравнение.

Задача 108. Жесткий прямой угол массой которого можно пренебречь, прикреплен к вершине О при помощи шарнира к вертикальной оси так, что может вращаться вокруг точки О в вертикальной плоскости, а также вокруг оси

Рис. 286.

Рис. 287.

На концах к нему прикреплены грузы, которые можно принять за материальные точки веса и Найти зависимость между угловой скоростью вращения стержня вокруг оси и постоянным углом , составленным этим стержнем с вертикалью, если

Решение. 1. Рассматриваем систему в текущий момент времени. Система состоит из двух точек связанных между собой и осью вращения стержнями и ОВ (рис. 287).

2. Изображаем активные силы, действующие на систему вес точки вес точки В.

3. Прикладываем силы инерции точек системы: (центробежная сила инерции точки А) и (центробежная сила инерции точки В).

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. Составляем общее уравнение динамики системы:

Общее ураьнение будет иметь вид:

6. Решаем полученное уравнение.

Так как то

Задача 109. Груз А весом некоторый коэффициент), опускаясь вниз посредством невесомой нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок и намотанной на барабан В, заставляет колесо К катиться без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 288). Барабан В радиуса жестко связан с колесом К, радиус которого равен их общий вес равен а радиус инерции относительно горизонтальной оси С равен Определить ускорение груза А, если вес блока расен его радиус равен масса блока равномерно распределена по всему кругу.

Решение. 1. Рассматриваем систему в текущий момент времени. Система состоит из колеса барабана В, груза А, блока и веревки (рис. 289).

2. Изображаем активные силы, действующие на систему: вес колеса с барабаном; вес блока; вес груза А.

3. Прикладываем силы инерции системы:

4. Составляем обшее уравнение динамики системы:

так как

Рис. 288.

Рис. 289.

элементарный угол поворота колеса вокруг мгновенного центра вращения так как точка приложения веса не перемещается, Следовательно,

где элементарный угол поворота блока вокруг своей оси Но

Следовательно

Итак,

Общее уравнение динамики для данной системы будет следующее:

5. Решаем полеченное уравнение.

Очевидно, что с другой стороны, следовательно

Получаем:

Так как то

Но

Получаем искомое ускорение:

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)