4-4. Решение задач на равновесие тел при наличии трения

Сила трения скольжения при покое тела меньше или равна произведению коэффициента трения на величину нормальной составляющей полной реакции шероховатой опорной поверхности (рис. 50):

где сила трения; коэффициент трения скольжения; нормальная составляющая полной реакции шероховатой опорной поверхности.

Рис. 50.

Сила трения скольжения направлена по касательной к шероховатой опорной поверхности в сторону, противоположную тому направлению, по которому тело начало бы двигаться, если бы сила грения отсутствовала. только в том критическом положении тела, в котором оно находится в состоянии неустойчивого равновесия, готово перейти из состояния покоя в движение. В этом случае при решении задачи находятся критические значения (максимальные или минимальные) неизвестных величин При малейшем изменении этих величин (увеличении или уменьшении) нарушается равновесие тела. Если тело не находится на грани покоя и движения, то В этом случае мы находим не точные значения искомых величин, а лишь границы, в которых они заключены при равновесии тела.

Задача 16. К вертикальной стенке (рис. 51) приставлена лестница опирающаяся своим нижним концом на горизонтальный пол. Коэффициент трения лестницы о пол о стену Вес лестницы приложен к ее середине. Человек весом стоит в точке Определить наибольший угол а, составляемый лестницей со стеной в положении равновесия, а также нормальные составляющие реакции стены и пола для этого значения а, если

Рис. 51.

Рис. 52.

Решение. 1. Рассматриваем равновесие лестницы с человеком (рис. 52).

2. Изображаем активные силы, действующие на рассматриваемую систему: вес лестницы и вес человека.

3. Освобождаем лестницу от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями являются стена и пол. Реакцию стены раскладываем на нормальную составляющую и касательную составляющую сила трения скольжения направлена вверх. Она препятствует скольжению конца В лестницы вниз Такое движение имело бы место, если бы не было сил трения. Реакцию пола также раскладываем на две составляющие Сила трения пола направлена в сторону, противоположную тому направлению, по которому стал бы двигаться конец А лестницы под действием активных сил если бы не было силы трения.

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 52.

5 Составляем уравнения равновесия:

где

6. Решаем полученные уравнения. Из уравнений (4-14), (4-15); (4-17) и (4-18):

Из уравнения (4-16)

Задача 17. Однородный стержень длиной 2а и весом опирается на горизонтальную плоскость и неподвижный цилиндр радиуса (рис. 53) Коэффициент трения стержня о цилиндр и о плоскость равен Каково наибольшее значение угла при котором стержень находится в равновесии?

Решение. 1. Рассматриваем равновесие стержня (рис. 54).

2. Изображаем силу вес однородного стержня — активную силу, действующую на стержень.

3. Освобождаем стержень от связей, заменяя действие связей реакциями Связями являются шероховатая горизонтальная плоскость и шероховатая цилиндрическая поверхность. Если бы не было трения, то под действием собственного веса стержень стал бы двигаться так, что конец А скользил бы слева направо.

Рис. 53

Рис. 54

Следовательно, сила трения направлена справа налево, а сила трения цилиндра так, как указано на рисунке.

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 54.

5. Составляем уравнения равновесия:

где

6. Решаем полученные уравнения. Из уравнений (4-19), (4-20), (4-22) и (4-23):

Из уравнений (4-21), (4-25) и (4-24):

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)