ГЛАВА XX. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

20-1. Общие положения

Для того, чтобы написать дифференциальные уравнения движения точки относительно движущейся системы координат, нужно к силам, действующим на точку, присоединить переносную и кориолисову силы инерции:

где переносная сила инерции точки; поворотная (кориолисова) сила инерции точки.

Дифференциал кинетической энергии материальной точки в относительном движении равен сумме элементарных работ всех сил, действующих на точку, плюс элементарная работа пеоеносной силы инерции точки:

Для того, чтобы выделить относительное движение точки, нужно мысленно остановить подвижную систему координат и посмотреть, как будет в этом случае двигаться точка. Для того, чтобы выделить переносное движение точки, нужно мысленно скрепить точку с подвижной системой координат и посмотреть, как будет в этом случае двигаться точка

План решения задач

1. Изображаем точку в текущий момент времени.

2. Изображаем активные силы, действующие на точку.

3 Освобождаем точку от связей, заменяя действие связей реакциями.

4. Изображаем переносную и повторную силы инерции точки.

5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки в относительном движении.

6. Интегрируем дифференциальные уравнения движения.

7. Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных.

8 Определяем произвольные постоянные интегрирования по начальным условиям задачи.

9. Найденные произвольные постоянные подставляем в результат интегрирования уравнений и получим закон движения точки Если задачу решить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в относительном движении точки, то первые три пункта плана остаются прежними, а далее нужно сделать следующее:

Нарисуем переносную силу инерции точки.

Составим уравнение теоремы об изменении кинетической энергии точки в относительном движении:

Из полученного уравнения находим неизвестную величину.

20-2. Решение задач

Задача 93. Материальная точка массы может свободно двигаться без трения в плоскости вращающейся вокруг неподвижной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью Найти относительное движение этой точки, если она находится под действием силы тяжести и если ее начальные координаты равны а начальная относительная скорость равна нулю. Определить также реакцию вращающейся плоскости.

Решение 1 Изображаем точку в текущий момент (рис. 241).

2 Изображаем активную силу вес точки.

3. Освобождаем точку от связи, заменяя действие связи реакцией. Связью является гладкая плоскость Реакция плоскости направлена по нормали к плоскости.

4. Прикладываем переносную силу инерции и поворотную силу инерции течки. Для выделения переносного движения точки скрепляем ее с подвижной системой координат В этом случае точка будет принадлежать вращающейся плоскости, следовательно, направлена в сторону, противоположную для выделения относительного движения мысленно останавливаем подвижную систему координат и приходим к заключению, что лежит в плоскости Векторы образуют правую систему координат, а вектор направлен в сторону, противоположную направлению вектора т. е.

Рис. 241.

5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки в относительном движении:

Дифференциальные уравнения будут:

6. Интегрируем дифференциальные уравнения движения точки характеристическое уравнение для данного линейного уравнения будет корни этого уравнения следовательно, общее решение дифференциального уравнения (20-3) таково:

Интегрируем уравнение (20-4):

7. Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных

При

8. Определяем произвольные постоянные интегрирования. Для этого подставляем начальные условия движения в уравнения (20-6), (20-7), (20-8), (20-9) и получаем:

9. Найденные произвольные постоянные подставляем в уравнения (20-6) и (20-9) и получаем закон относительного движения точки:

Из уравнения (20-5)

Следовательно,

Задача 94. Прямолинейная трубка (рис. 242) вращается в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной точки О с постоянной угловой скоростью со. Внутри трубки может двигаться без трения шарик массы Найти относительную по отношению к трубке скорость шарика в зависимости от расстояния, проходимого шариком, если в начальный момент он находился в точке А и его начальная относительная скорость равна нулю,

Решение. 1. Изображаем точку в текущий момент времени (рис. 243).

2. Изображаем активную силу, действующую на точку, -вес точки.

3. Освобождаем точку от связи, заменяя действие связи реакцией, в Связью является гладкая трубка. Реакция трубки направлена по нормали к трубке.

4. Прикладываем переносную силу инерции точки Для выделения переносного движения точки, мысленно точку скрепляем с подвижной системой координат

В этом случае точка принадлежит вращающейся трубке, поэтому

Рис. 242.

Рис. 243.

5. Составляем уравнение теоремы об изменении кинетической энергии точки в относительном движении:

Получаем

6. Интегрируем полученное дифференциальное уравнение движения точки

7. Составляем начальные условия движения для определения произвольной постоянной интегрирования

8. Определяем произвольную постоянную

Начальные условия задачи подставляем в уравнение (20-10), получаем:

9. Подставляем найденную произвольную постоянную в уравнение (20-10), находим относительную скорость точки как функцию

Упражнения

(см. скан)