XIII. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

ГЛАВА XXI. ОБЩИЕ ТЕОРМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ

21-1. Теорема о движении центра инерции системы

Центр инерции системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действуют все внешние силы, приложенные к системе;

где масса всей системы, ускорение центра инерции, главный вектор внешних сил системы.

Центром инерции системы называется такая геометрическая точка, координаты которой определяются следующими формулами:

Внутренними силами системы называются силы взаимодействия точек системы друг с другом. Внешними силами системы называются силы взаимодействия точек системы с точками и телами, не входящими в данную систему.

А. Дифференциальные уравнения движения центра инерции системы в декартовых координатах:

Б. Дифференциальные уравнения движения центра инерции системы в естественной форме:

где - скорость центра инерции системы, радиус кривизны траектории центра инерции системы.

Все задачи, решаемые с помощью теоремы о движении центра инерции системы, можно разделить, как и задачи динамики точки, на две группы.

К первой группе задач относятся такие задачи, в которых известен закон движения центра инерции системы, а нужно определить внешние силы, действующие на систему (первая задача динамики).

Ко второй группе задач относятся такие задачи, в которых известны внешние силы, действующие на систему, а нужно определить закон движения центра инерции системы (вторая задача динамики).

План решения первой группы задач

1. Выделяем систему и изображаем ее в текущий момент времени.

2. Изображаем внешние силы, действующие на систему.

3. Выбираем систему координат.

4. Составляем дифференциальные уравнения движения центра инерции системы в выбранной системе координат; уравнения (21-3) или (21-4).

5. По заданному закону движения центра инерции системы находим путем дифференцирования проекции ускорения центра на координатные оси.

6. Решаем полученные уравнения, найдем внешние силы, действующие на систему.

Задача 95. Материальная система состоит из трех точек веса которых соответственно равны

Точки соединены между собой и с горизонтальной осью О вращения жесткими стержнями. Определить, пренебрегая массами стержней, усилие в стержне в момент времени сек, если (время измеряется в (рис. 244).

Решение. 1. Изображаем систему в текущий момент времени (рис. 245).

2. Изображаем внешние силы, действующие на систему. Система состоит из точек связанных между собой стержнями; следовательно, внешними силами, действующими на систему, будут веса и точек и реакция стержня

3. Выбираем систему координат как указано на рис. 245. Начало координат помещаем в центре инерции системы.

4. Составляем дифференциальное уравнение движения центра инерции системы в проекции на внутреннюю нормаль к траек» тории центра инерции:

радиус кривизны траектории центра инерции, равный радиусу окружности, описываемой центром инерции; из рис. 246 видно, что

Рис. 244.

Рис. 245.

Рис. 246

5. По заданному закону движения центра инерции системы находим

6. Решаем полученное уравнение:

Получаем

План решения второй группы задач

1. Выделяем и изображаем систему в произвольный момент времени.

2. Изображаем все внешние силы, действующие на систему.

3. Выбираем систему координат.

4. Составляем дифференциальные уравнения движения центра инерции системы в выбранной системе координат [уравнения (21-3) или (21-4)].

5. Интегрируем полученные дифференциальные уравнения.

6. Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных интегрирования.

7. Определяем произвольные постоянные интегрирования по начальным условиям задачи.

8. Найденные произвольные постоянные подставляем в результат интегрирования дифференциальных уравнений движения центра инерции системы и найдем неизвестные величины задачи.

Задача 96. Грузы веса и В веса соединен! нерастяжимой нитью, переброшенной через блок Груз В скользит по боковой стороне клина, опирающегося основаниед) на гладкую горизонтальную плоскость. Найти перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза на высоту если вес клина массой нити и блока, а также отклонением нити от вертикали пренебречь, вначале система находилась в покое (рис. 247).

Решение. 1. Рассматриваем систему, состоящую из клина, грузов нити и блока, в текущий момент (рис. 248).

2. Изображаем все внешние силы, действующие на систему: вес клина, вес груза вес груза нормальная реакция пола.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 248.

4. Составляем дифференциальное уравнение движения центра инерции в проекции на ось

следовательно,

5. Интегрируем дифференциальное уравнение движения центра инерции системы

Получаем:

6. Составляем начальные условия задачи.

При

Рис. 247.

Рис. 248

7 Определяем произвольные постоянные интегрирования

Подставляя начальные условия задачи в уравнения и (21-4а) получим

Рис. 249.

Рис. 250.

8. Наеденные произвольные постоянные подставляем в уравнение (21—4а) и получаем следовательно, центр тяжести системы остается на одной и той же вертикали и

Из рис. 249 видно, что

Из рис. 250 следует, что

После подстановки найденных величин в соотношение (21-46) и несложных преобразований получим:

Упражнения

(см. скан)