19-3. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен сумме элементарных работ всех сил, действующих на точку:

Изменение кинетической энергии материальной точки за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех сил, действующих на точку, на соответствующем перемещении точки:

Работа постоянной силы на прямолинейном отрезке перемещения точки приложения силы равна произведению величины силы на величину отрезка и на косинус угла между силой и скоростью точки приложения силы (рис. 237):

Рис. 237.

Рис. 238.

Элементарная работа переменной силы на криволинейном участке перемещения точки приложения силы равна произведению величины силы на величину элементарного перемещения и на косинус угла между силой и скоростью точки приложения силы (рис. 238):

Элементарная работа силы равна сумме попарных произведений проекций силы на оси прямоугольной декартовой системы координат на дифференциалы соответствующих координат точки приложения силы:

Работа силы тяжести тела равна произведению, взятому со знаком плюс или минус, веса тела на высоту опускания или подъема центра тяжести тела. Знак плюс у произведения берется тогда, когда центр тяжести опускается, в противном случае берется знак минус:

План решения задач

1. Изображаем материальную точку в текущий момент времени.

2. Изображаем активные силы, действующие на точку.

3. Освобождаем точку от связей, заменяя действия связей реакциями.

4. Составляем уравнение теоремы об изменении кинетической энергии точки в виде силы, действующие на точку, постоянные) или в виде силы, действующие на точку, переменные).

5. Решаем полученные уравнения.

Силы постоянные

Задача 91. Тело весом движется вверх по шероховатой наклонной плоскости. Определить путь, который пройдет тело до остановки, если начальная скорость тела плоскость наклонена к горизонту под углом а, коэффициент трения скольжения равен

Решение. 1. Изображаем тело В в текущий момент времени (рис. 239).

Рис. 239.

2. Изображаем активную силу, действующую на тело вес тела.

3. Освобождаем тело В от связи, заменяя действие связи реакцией; связью является шероховатая наклонная плоскость. Реакцию плоскости раскладываем на две составляющие: нормальную составляющую и касательную составляющую силу трения скольжения.

4. Составляем уравнение теоремы об изменении кинетической энергии точки: В можно считать за точку, так как оно движется поступательно. Сначала подсчитываем правую часть этой формулы — сумму работ всех сил, действующих на тело, на перемещении тела:

так как

Для нахождения составляем дифференциальное уравнение движения тела в проекции на ось

следовательно,

Итак,

Конечная скорость тела Уравнение теоремы об изменении кинетической энергии точки принимает вид:

5. Решаем полученное уравнение

Силы переменные

Задача 92. Тело падает на землю с высоты без начальной скорости. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, а силу притяжения Земли считаем обратно пропорциональной квадрату расстояния тела от центра Земли:

Рис. 240.

Определить скорость, которую приобретает тело при подходе к Земле, если радиус Земли равен ускорение силы тяжести у поверхности Земли равно

Решение. 1. Изображаем точку в текущий момент времени (рис. 240).

2. Изображаем силу силу притяжения точки к центру Земли.

3. Составляем уравнение теоремы об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме:

В выбранной системе координат:

получаем:

4. Решаем полученное уравнение:

Для определения коэффициента пропорциональности используем то положение, что сила притяжения тела к центру Земли является весом тела, если тело находится на поверхности Земли: следовательно,

Поэтому

Рекомендация: Теорема об изменении кинетической энергии точки целесообразно применять в тех случаях, когда из четырех величин: сила, совершаюиая работу путь точки приложения силы начальная скорость точки и конечная скорость известны три и нужно определить четвертую.

Упражнения

(см. скан)