22-2. Принцип возможных перемещений

Для того, чтобы система с идеальными связями оставалась в равновесии в данном положении, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на систему, на любом возможном перемещении системы равнялась нулю (связи удерживающие):

Возможным перемещением системы называется всякое бесконечно малое перемещение точек системы которое допускается а данный момент связями, наложенными на систему.

возможное перемещение точки номера системы

Связи наложенные на систему, называются идеальными (совершенными), если сумма элементарных работ всех реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю:

К числу идеальных связей относятся связи, осуществленные в виде гладких поверхностей, линий, гибких нерастяжимых нитей, шарниров без трения и - вариации декартовых координат точки номера системы — бесконечно малые изменения координат получившиеся от возможного перемещения системы. Для того чтобы вычислить вариацию декартовой координаты какой-нибудь точки системы, нужно взять полный дифференциал от функции связывающей декартову координату с обобщенными координатами системы и всюду значок заменить значком .

План решения задач

1. Выделяем систему равновесие которой следует рассмотреть.

2. Изображаем активные силы, действующие на систему.

3. Выбираем систему координат (если задачу решаем при помощи аналитического выражения элементарной работы).

4. Составляем уравнение принципа возможных перемещений системы:

Для этого сначала нужно найти проекции активных сил, действующих на систему, а также координаты точек приложения этих сил как функции обобщенных координат, затем по известному правилу найти вариации декартовых координат точек системы.

5. Решаем получен ное уравнение принципа возможных перемещений.

Задача 105. Шарнирный четы рехзвенник (рис. 278) удерживается в равновесии грузом весом с помощью веревки перекинутой через блок

Рис. 278.

Рис. 279.

Определить угол а из условия равновесия системы если стержни однородные, и вес каждого стержня равен

Решение. 1. Рассматриваем равновесие системы стержней и (рис. 279)

2. Изображаем активные силы, действующие на систему! веса стержней и вес груза

3. Выбираем систему координат, как указано на рис 279.

4. Составляем уравнение принципа возможных перемещений:

где а — обобщенная координата системы.

Уравнение принципа будет иметь вид:

5. Решаем полученное уравнение.

Так как то

Следовательно,

Задача 106. Четыре стержня равной длины и равного веса соединены друг с другом шарнирами

Рис. 280.

Рис. 281.

Два крайних стержня вращаются в вертикальной плоскости на шарнирах около неподвижных точек лежащих на одной горизонтали. Определить зависимость между углами в положении равновесия (рис. 280), если

Решение. 1. Рассматриваем равновесие системы, состоящей из стержней (рис. 281).

2. Рисуем активные силы, действующие на систему: — веса стержней.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 281

4. Составляем уравнение принципа возможных перемещений:

Уравнение принципа будет иметь вид:

5. Решаем полученное уравнение.

Для этого прежде всего установим зависимость между и 60. Из рис. 282 видно, что

Получаем:

Рис. 282.

После варьирования обеих частей этого равенства будем иметь:

Найденную вариацию подставляем в уравнение принципа, тогда это уравнение примет следующй вид:

Так как следовательно,

Задача На однородный стержень весом действует пара сил с моментом а на однородный стержень весом действует пара сил с моментом Определить углы при равновесии системы, если в точках цилиндрические шарниры.

Рис. 283

Рис. 284.

Решение. 1. Рассматриваем равновесие системы, состоящей из стержней (рис 284).

2. Изображаем активные силы, действующие на систему. вес стержня и вес стержня а также пары сил с моментами и

3. Составляем уравнение принципа возможных перемещений. Для этого даем системе следующие два возможных перемещения:

Рис. 285

а) угол а оставляем неизменным, а угол (3 получает приращение (рис 285 а), б) угол оставляем неизменным, а угол а получает приращение 6а (рис. 285 б) (это можно сделать, так как система имеет две степени свободы).

Составляем уравнение принципа возможных перемещений в случае переменная; рис. 285 а):

Получаем:

Составляем уравнение принципа возможных перемещений в случае [а — переменная, Р=const; рис. 285-6].

Получаем:

4. Решаем полученные уравнения (22-5) и (22-6). Так как и то получим следующие два уравнения:

Следовательно,

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)