Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 18-3. Вторая основная задача динамики материальной точки (обратная первой)Вторая задача динамики точки заключается в том, что задана сила, действующая на точку, и масса точки, а требуется определить закон (уравнения) движения точки. Дано: Определить Эта задача решается интегрированием дифференциальных уравнений движения точки:
В самом общем случае правые части дифференциальных уравнений зависят от времени План решения задач1. Изображаем материальную точку в текущий момент времени. 2. Изображаем активные силы, действующие на точку. 3. Освобождаем точку от связей, заменяя действие связей реакциями. 4. Выбираем систему координат. Начало координат системы следует помещать в начальном положении точки и оси координат направлять так, чтобы координата точки в текущий момент и проекции скорости ее на эти оси были положительными Если точка движется по окружности, то рекомендуется выбрать оси естественной системы координат, совместив начало координат с текущим положением точки, и направить касательную к траектории точки так, чтобы для текущего положения точки естественная координата и проекция скорости точки на касательную были положительными 5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат. При этом следует помнить, что а полученных дифференциальных уравнениях проекции всех сил необходимо выразить через те переменные 6. Проинтегрируем полученные дифференциальные уравнения движения точки. Способ интегрирования уравьений зависит от их вида. Если на точку действуют, кроме постоянных сил, силы, зависящие только от одной переменной, то чаще всего такие уравнения решаются путем разделения переменных (см. решение задач 77, 78, 79, 81). Иногда систему трех дифференциальных уравнений второго порядка:
выгодно заменить эквивалентной системой, состоящей из шести уравнений, но первого порядка:
(см. решение 77, 78, 81). В том случае, когда по условию задачи нужно найти скорость точки как функцию текущих координат ее и сила зависит только от этих координат или скорости точки, то из дифференциальных уравнений переменную
В простейших случаях дифференциальные уравнения движения точки будут иметь вид:
(см. решение задач 78, 79). 7. Составляем начальные условия движения по тексту задачи. 8. По начальным условиям определяем произвольные постоянные интегрирования. 9. Найденные произвольные постоянные подставляем в результат интегрирования дифференциальных уравнений движения точки. Это и будут уравнения движения точки (закон движения). Прямолинейное движение точки1. Постоянная сила Задача 76. На шероховатой наклонной плоскости (рис. 209) находится груз
Рис. 209.
Рис. 210. Решение. Грузы а) Движение груза Л: 1. Изображаем груз А в текущий момент времени (рис. 210). 2. Изображаем активные силы: 3. Освобождаем груз А от связей, заменяя действие связей реакциями. Связью является наклонная плоскость. Реакцию шероховатой опорной поверхности раскладываем на нормальную составляющую 4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 210: 5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки.
б) Движение груза В. 1. Изображаем груз В в текущий момент времени (рис. 211). 2. Изображаем активную силу 3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 211. Достаточно выбрать одну ось 4. Составляем дифференциальное уравнение движения:
Из уравнений (18-4) и (18-5) находим ускорение грузов, имея в виду, что
Рис. 211. Следовательно, точки
но
Вывод. В том случае, когда на точку, участвующую в прямолинейном движении, действуют постоянные силы, то эта точка движется равнопеременно. Ускорение равнопеременного движения находится из дифференциальных уравнений движения. Для нахождения закона движения точки нужно найденное ускорение подставить в кинематическую формулу пути равнопеременного прямолинейного движения. 2. Сила—функция времени. Задача 77. Тело Решение. 1. Изображаем тело 2. Изображаем активную силу 3. Освобождаем тело 4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 213.
Рис. 212.
Рис. 213. 5. Составляем дифференциальное уравнение движения:
6. Интегрируем полученное дифференциальное уравнение движения точки После интегрирования получим:
Откуда:
7. Составляем начальные условия движения (по тексту задачи) для определения произвольных постоянных интегрирования С, и При Так как начало координат помещено в начальном положении тела 8 Начальные условия движения подставляем в уравнения
9. Найденные
3. Сила — функция скорости точки. Задача 78. Тело А весом
Рис. 214.
Рис. 215. Решение. 1. Изображаем тело А в текущий момент времени (рис. 215). Тело А можно считать материальной точкой, так как оно движется поступательно. 2. Изображаем активную силу 3. Освобождаем тело А от связи, заменяя действие связи реакцией. Связью является наклонная плоскость. Реакцию плоскости раскладываем на нормальную составляющую 4. Выбираем оси координат, как указано на рис. 5 Составляем дифференциальные уравнения движения:
следовательно,
Так как скорость точки — сложная функция времени Поэтому дифференциальное уравнение движения тела А получится таким:
6. Интегрируем дифференциальное уравнение движения тела Это уравнение с разделяющимися переменными:
7. Составляем начальные условия для определения произвольной постоянной с. При
8. Определяем произвольную постоянную с. Для этого начальные условия задачи подставляем в уравнение (18-8), получим:
9. Подставляем найденное с в уравнение (18-8):
4. Сила — функция координаты движущейся точки. Задача 79. Тело А находится на гладкой горизонтальной плоскости и притягивается к неподвижному центру О силой, пропорциональной массе тела и обратно пропорциональной кубу расстояния тела от этого центра, причем коэффициент пропорциональности равен к. В начальный момент расстояние тела от О равно а, а скорость его равна нулю. Найти закон движения тела Решение. 1. Изображаем тело А в текущий момент времени Крис. 216). Тело можно считать за материальную точку, так как это тело движется поступательно. 2. Изображаем активные силы, действующие на тело: 3. Освобождаем тело от связи, заменяя действие связи реакцией. Связью является горизонтальная гладкая плоскость; 4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 216. 5. Составляем дифференциальное уравнение движения тела А:
Рис. 216. 6. Интегрируем дифференциальное уравнение движения точки:
Скорость тела
После интегрирования будем иметь:
7. Составляем начальные условия для определения произвольных постоянных с, и При 8. Определяем по начальным условиям задачи произвольные постоянные Подставляя начальные условия в уравнения (18-9) и (18-10), получим: 9. Найденные
Упражнения(см. скан) Криволинейное движение свободной точки1. Постоянная сила Задача 80. Материальная точка весом Решение. 1. Изображаем точку 2. Изображаем силы, действующие «а точку. В данном случае действует единственная сила 3. Выбираем систему координат, жак указано на рис. 217 (начало координат помещаем в месте выброса точки; вектор 4. Составляем дифференциальные уравнения движения точки:
Рис. 217. 5 Интегрируем дифференциальные уравнения движения точки.
6. Составляем начальные условия задачи: при
7. Определяем по начальным условиям произвольные постоянные интегрирования Из уравнений (18-11), (18-12) после подстановки в них начальных условий получим:
8. Найденные произвольные постоянные подставляем в результат интегрирования дифференциальных уравнений (18-12); получим закон движения точки или уравнение траектории точки в параметрической форме (роль параметра играет время
Рис. 218. После исключения параметра
Следовательно, материальная точка 2. Сила — функция скорости точки. Задача 81. Материальная точка массы Решение. 1. Изображаем точку 2. Изображаем силы, действующие на точку: 3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 219. Начало координат помещаем в месте выброса точки; вектор ил лежит в плоскости
Рис. 219. 4. Составляем дифференциальные уравнения движения точки;
Получаем следующие дифференциальные уравнения движения:
5. Интегрируем полученные дифференциальные уравнения движения точки. После интегрирования первого уравнения имеем:
Интегрируем второе уравнение:
Интегрируем третье уравнение:
6. Составляем начальные условия для определения произвольных постоянных интегрирования
7. Определяем произвольные постоянные по составленным начальным условиям. После подстановки в уравнения (18-13), (18-14) и (18-15); (18-16); (18-17); (18-18) начальных условий получим:
8. Подставляем найденные произвольные постоянные в уравнения (18-14), (18-16), (18-18) и находим закон движения точки;
Для нахождения
Рис. 220. 3. Сила — функция координат движущейся точки. Задача 82. Точка Решение. 1. Изображаем точку
Рис. 221. 2. Изображаем силу 3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 221. 4. Составляем дифференциальные уравнения движения точки:
но
Следовательно,
5. Интегрируем дифференциальные уравнения движения Общее решение первого уравнения будет:
Получаем: 6 Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных При 7. По начальным условиям движения определяем произвольные постоянные. Подставляя начальные условия задачи решения дифференциальных уравнений движения точки, а также в выражения, которые получаются после дифференцирования этих решений, получим:
Из уравнения (18—20): Из уравнения (18—19):
Из уравнения (18—22) 8. Подставляем найденные произвольные постоянные в общие решения дифференциальных уравнений и получаем закон движения материальной точки:
Для нахождения траектории точки исключаем время
Следовательно, точка движется по эллипсу (рис. 222).
Рис. 222. Криволинейное движение не свободной точкиЗадача 83 Колечко скользит под действием собственного веса по проволочной окружности радиуса Решение 1. Изображаем точку 2. Изображаем активную силу 3. Освобождаем точку составляющая и 4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 223 (оси естественного трехгранника). 5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме:
Рис. 223. Из уравнений (1) и (2) получаем:
но
6. Интегрируем дифференциальное уравнение движения точки. Это уравнение можно представить в следующем виде:
Общее решение этого уравнения
Частное решение ищем в следующем виде:
Это решение должно обращать дифференциальное уравнение (18-23) в тождество. Отсюда находим коэффициенты
Итак, общее решение дифференциального уравнения (18-23) имеет следующий вид;
где 7. Составляем начальные условия для определения произвольной постоянной С. При 8. Определяем произвольную постоянную интегрирования. После подстановки начальных условий движения в уравнение (18-24) получим 9. Подставляем найденную произвольную постоянную в уравнение (18-24):
Когда материальная точка проходит нижнюю точку кольца, то
Упражнения(см. скан) (см. скан) Прямолинейные колебания материальной точки1. Гармонические колебания Задача 84. Пружина закреплена в точке А, ко второму концу пружины прикреплен груз Решение. 1. Изображаем груз 2. Изображаем силы, действующие на груз М:
Рис. 224.
Рис. 225.
Рис. 226. 3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 225. Для упрощения решения задачи начало координат рекомендуется помещать в положении статического равновесия груза. На рис. 225 имеем следующее: 4. Составляем дифференциальное уравнение движения груза (груз можно считать материальной точкой, так как он движется поступательно):
Сила упругости пропорциональна удлинению пружины (рассматриваем малые удлинения):
Для упрощения правой части рассматриваем равновесие груза в положении статического равновесия
Следовательно,
получаем:
5. Решаем дифференциальное уравнение движения груза:
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет следующий вид:
6. Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных При 7. Определяем произвольные постоянные интегрирования по начальным условиям движения. Для этого подставляем начальные условия в выражения:
получаем:
Из уравнений (18-28) и (18-29):
8. Найденные произвольные постоянные подставляем в общее решение
где
Груз
2. Затухающие колебания Задача 85. Тело
Решение. 1. Изображаем точку 2. Изображаем силы, действующие на точку: 3 Выбираем систему координат, как указано на рис. 228. Как и в задаче 84, начало координат помещаем в положении
Рис. 227.
Рис. 228.
Рис. 229. 4. Составляем дифференциальное уравнение движения точки (см. скан) Для упрощения правой части полученного уравнения рассматриваем равновесие груза (рис. 229):
следовательно,
Дифференциальное уравнение движения груза будет иметь вид.
где
5. Интегрируем дифференциальное уравнение (18-31) движения груза. Это уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Находим корни характеристического уравнения:
Поэтому
Общее решение дифференциального уравнения будет:
После преобразования по формулам Эйлера будем иметь:
6. Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных При 7. Определяем произвольные постоянные интегрирования по начальным условиям задачи. Для этого составленные начальные условия подставляем в уравнение (18-32) и в уравнение, полученное из уравнения (18-32) путем дифференцирования его по времени, получим
8. Найденные произвольные постоянные подставляем в уравнение (18-32) и получаем закон движения груза:
3. Вынужденные колебания. Задача 86. (Сопротивление среды отсутствует; нерезонансный случай.)
Рис. 230. Материальная точка массы Решение. 1. Изображаем точку 2. Изображаем силы, действующие на точку: 8. Выбираем систему координат, как указано на рис. 230 4. Составляем дифференциальное уравнение движения точки
5. Интегрируем дифференциальное уравнение движения точки Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет:
6. Составляем начальные условия задачи для определения произвольных постоянных При 7. Определяем произвольные постоянные по начальным условиям. Для этого начальные условия подставляем в выражение (18-33) и в выражение 8. Подставляем найденные произвольные постоянные в общее решение дифференциального уравнения движения точки и получим закон движения точки:
Задача 87. (Случай резонанса). Тело веса
Решение. 1. Изображаем тело 2. Изображаем силы, действующие на тело: 3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 231. АВ - недеформированная длина пружины, 4. Составляем дифференциальное уравнение движения груза (груз можно считать за точку, так как он движется поступательно).
Но из условия равновесия груза в положении
где
Рис. 231. 5. Решаем дифференциальное уравнение движения груза:
В данном случае
Коэффициенты
6. Составляем начальные условия.
7. Определяем произвольные постоянные а и а по начальным условиям. Для этого подставляем начальные условия движения в выражение (18-34) и в выражение
полученное из выражения (18-34) путем дифференцирования: 8. Подставляя найденные произвольные постоянные в общее решение (18-34) дифференциального уравнения движения точки, получаем закон движения точки:
Упражнения(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|