18-3. Вторая основная задача динамики материальной точки (обратная первой)

Вторая задача динамики точки заключается в том, что задана сила, действующая на точку, и масса точки, а требуется определить закон (уравнения) движения точки.

Дано:

Определить

Эта задача решается интегрированием дифференциальных уравнений движения точки: После интегрирования уравнений возникают произвольные постоянные. Эти произвольные постоянные определяются по начальным условиям движения. Начальные условия берутся из текста задачи. С точки зрения математики начальные условия движения заключаются в том, что при заданном значении аргумента задаются значения функций и их первых производных . С точки зрения кинематики начальные условия движения заключаются в том, что при заданном значении времени задается положение точки и скорость точки через ее проекции на оси координат:

В самом общем случае правые части дифференциальных уравнений зависят от времени положения точки и скорости точки . Такие дифференциальные уравнения интегрируются до конца только в частных случаях, когда, например, правая часть является постоянной величиной, либо простейшей функцией только времени, либо только расстояния, проходимого точкой, либо только скорости точки и др.

План решения задач

1. Изображаем материальную точку в текущий момент времени.

2. Изображаем активные силы, действующие на точку.

3. Освобождаем точку от связей, заменяя действие связей реакциями.

4. Выбираем систему координат. Начало координат системы следует помещать в начальном положении точки и оси координат направлять так, чтобы координата точки в текущий момент и проекции скорости ее на эти оси были положительными

Если точка движется по окружности, то рекомендуется выбрать оси естественной системы координат, совместив начало координат с текущим положением точки, и направить касательную к траектории точки так, чтобы для текущего положения точки естественная координата и проекция скорости точки на касательную были положительными Главную нормаль нужно направить в сторону вогнутости траектории.

5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат. При этом следует помнить, что а полученных дифференциальных уравнениях проекции всех сил

необходимо выразить через те переменные от которых эти силы зависят.

6. Проинтегрируем полученные дифференциальные уравнения движения точки. Способ интегрирования уравьений зависит от их вида.

Если на точку действуют, кроме постоянных сил, силы, зависящие только от одной переменной, то чаще всего такие уравнения решаются путем разделения переменных (см. решение задач 77, 78, 79, 81). Иногда систему трех дифференциальных уравнений второго порядка:

выгодно заменить эквивалентной системой, состоящей из шести уравнений, но первого порядка:

(см. решение 77, 78, 81).

В том случае, когда по условию задачи нужно найти скорость точки как функцию текущих координат ее и сила зависит только от этих координат или скорости точки, то из дифференциальных уравнений переменную исключаем с помощью подстановок:

В простейших случаях дифференциальные уравнения движения точки будут иметь вид:

(см. решение задач 78, 79).

7. Составляем начальные условия движения по тексту задачи.

8. По начальным условиям определяем произвольные постоянные интегрирования.

9. Найденные произвольные постоянные подставляем в результат интегрирования дифференциальных уравнений движения точки. Это и будут уравнения движения точки (закон движения).

Прямолинейное движение точки

1. Постоянная сила

Задача 76. На шероховатой наклонной плоскости (рис. 209) находится груз веса связанный с грузом В веса нитью, перекинутой через блок С. Определить закон движения грузов если вначале грузы находились в покое, коэффициент трения груза А о наклонную плоскость равен угол наклона плоскости к горизонту равен а.

Рис. 209.

Рис. 210.

Решение. Грузы можно считать материальными точками, так как эти грузы движутся поступательно. При решении задачи рассматриваем движение каждого груза в отдельности.

а) Движение груза Л:

1. Изображаем груз А в текущий момент времени (рис. 210).

2. Изображаем активные силы: вес груза, натяжение нити.

3. Освобождаем груз А от связей, заменяя действие связей реакциями. Связью является наклонная плоскость. Реакцию шероховатой опорной поверхности раскладываем на нормальную составляющую и касательную составляющую сила трения скольжения).

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 210:

5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки.

так как направление ускорения точки А совпадает с положительным направлением оси После подстановки найденных величин в дифференциальные уравнения движения точки получим:

б) Движение груза В.

1. Изображаем груз В в текущий момент времени (рис. 211).

2. Изображаем активную силу вес груза натяжение нити.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 211. Достаточно выбрать одну ось так как тело движется по вертикали.

4. Составляем дифференциальное уравнение движения:

Из уравнений (18-4) и (18-5) находим ускорение грузов, имея в виду, что

Рис. 211.

Следовательно, точки движутся прямолинейно и равномерноускоренно:

но так как грузы движутся из состояния покоя; начало координат выбираем так, что Следовательно,

Вывод. В том случае, когда на точку, участвующую в прямолинейном движении, действуют постоянные силы, то эта точка движется равнопеременно. Ускорение равнопеременного движения находится из дифференциальных уравнений движения. Для нахождения закона движения точки нужно найденное ускорение подставить в кинематическую формулу пути равнопеременного прямолинейного движения.

2. Сила—функция времени.

Задача 77. Тело начинает скользить по гладкой наклонной плоскости без начальной скорости в среде с сопротивлением, равным некоторое положительное число, вес тела Определить уравнение движения тела, если угол наклона плоскости к горизонту (рис. 212).

Решение. 1. Изображаем тело в текущий момент времени (рис. 213); тело можно считать за точку, так как тело движется поступательно.

2. Изображаем активную силу вес тела и силу сопротивление среды.

3. Освобождаем тело от связи, заменяя действие связи нормальной реакцией N (наклонная плоскость гладкая).

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 213.

Рис. 212.

Рис. 213.

5. Составляем дифференциальное уравнение движения:

6. Интегрируем полученное дифференциальное уравнение движения точки Это уравнение с разделяющимися переменными:

После интегрирования получим:

Откуда:

7. Составляем начальные условия движения (по тексту задачи) для определения произвольных постоянных интегрирования С, и

При

Так как начало координат помещено в начальном положении тела то

8 Начальные условия движения подставляем в уравнения и (18-7):

9. Найденные подставляем в результат интегрирования дифференциального уравнения движения точки (уравнениз 18—7):

3. Сила — функция скорости точки.

Задача 78. Тело А весом получившее начальную скорость скользит вверх по шероховатой наклонной плоскости, испытывая сопротивление среды, пропорциональное квадрату скорости тела причем коэффициент пропорциональности равен масса тела). Определить расстояние, проходимое телом, как функцию скорости его если коэффициент трения скольжения равен угол наклона плоскости к горизонту равен а (рис. 214).

Рис. 214.

Рис. 215.

Решение. 1. Изображаем тело А в текущий момент времени (рис. 215). Тело А можно считать материальной точкой, так как оно движется поступательно.

2. Изображаем активную силу вес тела и силу сопротивления среды.

3. Освобождаем тело А от связи, заменяя действие связи реакцией. Связью является наклонная плоскость. Реакцию плоскости раскладываем на нормальную составляющую и на касательную составляющую сила трения скольжения).

4. Выбираем оси координат, как указано на рис. упрощения решения задачи рекомендуется одну из осей направить в сторону движения тела А

5 Составляем дифференциальные уравнения движения:

следовательно,

Так как скорость точки — сложная функция времени то следовательно,

Поэтому дифференциальное уравнение движения тела А получится таким:

6. Интегрируем дифференциальное уравнение движения тела Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Составляем начальные условия для определения произвольной постоянной с.

При

так как начало координат помещено в том месте, откуда началось движение тела А).

8. Определяем произвольную постоянную с. Для этого начальные условия задачи подставляем в уравнение (18-8), получим:

9. Подставляем найденное с в уравнение (18-8):

4. Сила — функция координаты движущейся точки.

Задача 79. Тело А находится на гладкой горизонтальной плоскости и притягивается к неподвижному центру О силой, пропорциональной массе тела и обратно пропорциональной кубу расстояния тела от этого центра, причем коэффициент пропорциональности равен к. В начальный момент расстояние тела от О равно а, а скорость его равна нулю. Найти закон движения тела

Решение. 1. Изображаем тело А в текущий момент времени Крис. 216). Тело можно считать за материальную точку, так как это тело движется поступательно.

2. Изображаем активные силы, действующие на тело: вес тела, сила притяжения тела к центру О.

3. Освобождаем тело от связи, заменяя действие связи реакцией. Связью является горизонтальная гладкая плоскость; нормальная реакция этой плоскости.

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 216.

5. Составляем дифференциальное уравнение движения тела А:

Рис. 216.

6. Интегрируем дифференциальное уравнение движения точки:

Скорость тела -сложная функция времени следовательно,

После интегрирования будем иметь:

7. Составляем начальные условия для определения произвольных постоянных с, и

При

8. Определяем по начальным условиям задачи произвольные постоянные и

Подставляя начальные условия в уравнения (18-9) и (18-10), получим:

9. Найденные подставляем в уравнение (18—10) и получаем закон движения тела А:

Упражнения

(см. скан)

Криволинейное движение свободной точки

1. Постоянная сила

Задача 80. Материальная точка весом брошена со скоростью под углом а к горизонту. Определить, пренебрегая сопротивлением воздуха, закон движения точки.

Решение. 1. Изображаем точку в текущий момент времени (рис. 217).

2. Изображаем силы, действующие «а точку. В данном случае действует единственная сила вес точки.

3. Выбираем систему координат, жак указано на рис. 217 (начало координат помещаем в месте выброса точки; вектор лежит в плоскости

4. Составляем дифференциальные уравнения движения точки: получаем следующие три дифференциальные уравнения

Рис. 217.

5 Интегрируем дифференциальные уравнения движения точки.

6. Составляем начальные условия задачи: при

7. Определяем по начальным условиям произвольные постоянные интегрирования

Из уравнений (18-11), (18-12) после подстановки в них начальных условий получим:

8. Найденные произвольные постоянные подставляем в результат интегрирования дифференциальных уравнений (18-12); получим закон движения точки или уравнение траектории точки в параметрической форме (роль параметра играет время

Рис. 218.

После исключения параметра из уравнений движения уравнение траектории будет иметь вид:

Следовательно, материальная точка движется по параболе» расположенной в вертикальной плоскости (рис. 218).

2. Сила — функция скорости точки.

Задача 81. Материальная точка массы брошена с начальной скоростью под углом а к горизонту. Сила сопротивления воздуха где постоянный коэффициент и скорость точки. Найти уравнения движения и наибольшую высоту подъема точки.

Решение. 1. Изображаем точку в текущий момент времени (рис. 219).

2. Изображаем силы, действующие на точку: вес точки, силу сопротивления воздуха, направленную в сторону, противоположную направлению скорости гочки.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 219. Начало координат помещаем в месте выброса точки; вектор ил лежит в плоскости

Рис. 219.

4. Составляем дифференциальные уравнения движения точки;

Получаем следующие дифференциальные уравнения движения:

5. Интегрируем полученные дифференциальные уравнения движения точки.

После интегрирования первого уравнения имеем:

Интегрируем второе уравнение:

Интегрируем третье уравнение:

6. Составляем начальные условия для определения произвольных постоянных интегрирования

7. Определяем произвольные постоянные по составленным начальным условиям.

После подстановки в уравнения (18-13), (18-14) и (18-15); (18-16); (18-17); (18-18) начальных условий получим:

8. Подставляем найденные произвольные постоянные в уравнения (18-14), (18-16), (18-18) и находим закон движения точки;

Для нахождения используем то положение, что в наивысшей точке траектории вектор скорости материальной точки горизонтален (рис. 220) и, следовательно

Рис. 220.

3. Сила — функция координат движущейся точки.

Задача 82. Точка массы притягивается неподвижным центром О с силой где постоянный коэффициент и расстояние точки от О. В начальный момент расстояние а скорость направлена перпендикулярно Найти уравнение движения точки и ее траекторию, принимая прямую за ось и пренебрегая весом точки.

Решение. 1. Изображаем точку в текущий момент времени (рис. 221).

Рис. 221.

2. Изображаем силу действующую на точку.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 221.

4. Составляем дифференциальные уравнения движения точки:

но

Следовательно,

5. Интегрируем дифференциальные уравнения движения Эти уравнения однородные линейные второго порядка с постоянными коэффициентами. Для решения такого уравнения нужно составить характеристическое уравнение и найти его корнн: где

Общее решение первого уравнения будет: где с, и с, — произвольные постоянные. Далее используем формулы Эйлера:

Получаем: где новые произвольные постоянные. Если ввести произвольные постоянные связав их получчм общие решения данных дифференциальных уравнений:

6 Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных

При

7. По начальным условиям движения определяем произвольные постоянные. Подставляя начальные условия задачи общие

решения дифференциальных уравнений движения точки, а также в выражения, которые получаются после дифференцирования этих решений, получим:

Из уравнения (18—20): так как

Из уравнения (18—19): из уравнений (18—21) и (18—22):

Из уравнения (18—22)

8. Подставляем найденные произвольные постоянные в общие решения дифференциальных уравнений и получаем закон движения материальной точки:

Для нахождения траектории точки исключаем время из уравнений движения. С этой целью находим затем, возводим в квадрат и складываем:

Следовательно, точка движется по эллипсу (рис. 222).

Рис. 222.

Криволинейное движение не свободной точки

Задача 83 Колечко скользит под действием собственного веса по проволочной окружности радиуса расположенной в вертикальной плоскости, выходя без начальной скорости из конца горизонтального диаметра Зная коэффициент трения колечка об окружность, определить скорость прохождения колечка через нижнюю точку окружности.

Решение 1. Изображаем точку в текущий момент времени (рис. 223).

2. Изображаем активную силу вес точки.

3. Освобождаем точку от связей, заменяя действие связи реакцией. Связью является шероховатая окружность. Реакцию окружности раскладываем на две составляющие: нормальная

составляющая и касательная составляющая (сила трения скольжения).

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 223 (оси естественного трехгранника).

5. Составляем дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме:

Рис. 223.

Из уравнений (1) и (2) получаем:

но следовательно, Так как то дифференциальное уравнение движения точки принимает вид:

6. Интегрируем дифференциальное уравнение движения точки. Это уравнение можно представить в следующем виде:

Общее решение этого уравнения где общее решение однородного дифференциального уравнения; частное решение данного дифференциального уравнения:

Частное решение ищем в следующем виде:

Это решение должно обращать дифференциальное уравнение (18-23) в тождество. Отсюда находим коэффициенты и В:

Итак, общее решение дифференциального уравнения (18-23) имеет следующий вид;

где имеют вышенайденные значения.

7. Составляем начальные условия для определения произвольной постоянной С.

При

8. Определяем произвольную постоянную интегрирования. После подстановки начальных условий движения в уравнение (18-24) получим

9. Подставляем найденную произвольную постоянную в уравнение (18-24):

Когда материальная точка проходит нижнюю точку кольца, то

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Прямолинейные колебания материальной точки

1. Гармонические колебания

Задача 84. Пружина закреплена в точке А, ко второму концу пружины прикреплен груз веса Статическое удлинение пружины, вызываемое этим грузом, равно 6 см. Пренебрегая сопротивлениями, определить закон движения груза, если вначале пружина была недеформирована и груз был предоставлен самому себе (рис. 224):

Решение. 1. Изображаем груз в текущий момент времени (рис. 225).

2. Изображаем силы, действующие на груз М: вес груза силу упругости пружины.

Рис. 224.

Рис. 225.

Рис. 226.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 225. Для упрощения решения задачи начало координат рекомендуется помещать в положении статического равновесия груза. На рис. 225 имеем следующее: длина недеформированной пружины; статическое удлинение пружины под действием данного груза положение статического равновесия груза.

4. Составляем дифференциальное уравнение движения груза (груз можно считать материальной точкой, так как он движется поступательно):

Сила упругости пропорциональна удлинению пружины (рассматриваем малые удлинения):

Для упрощения правой части рассматриваем равновесие груза в положении статического равновесия (рис. 226):

Следовательно,

получаем:

5. Решаем дифференциальное уравнение движения груза:

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет следующий вид:

6. Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных .

При

7. Определяем произвольные постоянные интегрирования по начальным условиям движения. Для этого подставляем начальные условия в выражения:

получаем:

Из уравнений (18-28) и (18-29):

8. Найденные произвольные постоянные подставляем в общее решение дифференциального уравнения движения точки и получаем:

где определяем из уравнения равновесия (18-25):

Груз совершает прямолинейные гармонические колебания. Период колебания

2. Затухающие колебания

Задача 85. Тело весом подвешено на пружине, статическое удлинение которой под действием этого веса равно 1 см (рис. 227). Второй конец пружины закреплен в неподвижной точке А. Сила сопротивления воздуха при движении тела пропорциональна скорости и при скорости в равна

Определить закон движения грза. если вначале пружина была растянута на и груз был предоставлен самому себе.

Решение. 1. Изображаем точку в текущий момент времени (рис. 228). Тело можно считать материальной точкой, так как оно движется поступательно.

2. Изображаем силы, действующие на точку: вес точки, силу сопротивления воздуха и силу упругости пружины.

3 Выбираем систему координат, как указано на рис. 228. Как и в задаче 84, начало координат помещаем в положении статического равновесия груза, причем АВ — длина недеформированной пружины, статическое удлинение пружины.

Рис. 227.

Рис. 228.

Рис. 229.

4. Составляем дифференциальное уравнение движения точки

(см. скан)

Для упрощения правой части полученного уравнения рассматриваем равновесие груза (рис. 229):

следовательно,

Дифференциальное уравнение движения груза будет иметь вид.

где

5. Интегрируем дифференциальное уравнение (18-31) движения груза. Это уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Находим корни характеристического уравнения:

Поэтому

Общее решение дифференциального уравнения будет:

После преобразования по формулам Эйлера будем иметь:

6. Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных

При

7. Определяем произвольные постоянные интегрирования по начальным условиям задачи. Для этого составленные начальные условия подставляем в уравнение (18-32) и в уравнение, полученное из уравнения (18-32) путем дифференцирования его по времени, получим

8. Найденные произвольные постоянные подставляем в уравнение (18-32) и получаем закон движения груза:

3. Вынужденные колебания.

Задача 86. (Сопротивление среды отсутствует; нерезонансный случай.)

Рис. 230.

Материальная точка массы совершает прямолинейные" колебания по оси х под действием восстанавливающей силы, пропорциональной расстоянию точки от начала координат, причем коэффициент пропорциональности равен 8, и возмущающей силы Найти закон движения точки, если в начальный момент

Решение. 1. Изображаем точку в текущий момент времени (рис. 230).

2. Изображаем силы, действующие на точку: восстанавливающая сила, 5 — возмущающая сила (весом точки пренебрегаем).

8. Выбираем систему координат, как указано на рис. 230

4. Составляем дифференциальное уравнение движения точки

5. Интегрируем дифференциальное уравнение движения точки Это уравнение — неоднородное линейное с постоянными коэффициентами, дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение где общее решение однородного дифференциального уравнения следовательно, частное решение дифференциального уравнения Берем причем коэффициент находим из того условия, что обращает данное дифференциальное уравнение в тождество. Следовательно, .

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет:

6. Составляем начальные условия задачи для определения произвольных постоянных .

При

7. Определяем произвольные постоянные по начальным условиям. Для этого начальные условия подставляем в выражение (18-33) и в выражение полученное из (18-33) путем его дифференцирования. Тогда

8. Подставляем найденные произвольные постоянные в общее решение дифференциального уравнения движения точки и получим закон движения точки:

Задача 87. (Случай резонанса). Тело веса прикреплено к пружине, второй конец которой прикреплен к неподвижной точке А. Определить закон движения груза, если для растяжения пружины на 1 см требуется сила в на тело действует возмущающая сила см; вначале пружина была растянута на см, и тело находилось в покое. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. 1. Изображаем тело в текущий момент времени (рис. 231).

2. Изображаем силы, действующие на тело: вес тела, сила упругости пружины, возмущающая сила.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 231. АВ - недеформированная длина пружины, положение статического равновесия груза, статическое удлинение пружины.

4. Составляем дифференциальное уравнение движения груза (груз можно считать за точку, так как он движется поступательно).

Но из условия равновесия груза в положении статического равновесия заключаем, что дифференциальное уравнение движения груза будет иметь вид:

где

Рис. 231.

5. Решаем дифференциальное уравнение движения груза:

В данном случае следовательно, имеет место явление, называемое резонансом. Общее решение дифференциального уравнения ищем в виде где решение однородного уравнениях следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения ищем в виде:

Коэффициенты находим из того условия, что обращает неоднородное дифференциальное уравнение в тождество. Получим:

6. Составляем начальные условия.

7. Определяем произвольные постоянные а и а по начальным условиям.

Для этого подставляем начальные условия движения в выражение (18-34) и в выражение

полученное из выражения (18-34) путем дифференцирования:

8. Подставляя найденные произвольные постоянные в общее решение (18-34) дифференциального уравнения движения точки, получаем закон движения точки:

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)