ГЛАВА XVII. СЛОЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ДВИЖЕНИЙ ТЕЛА (СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ)

17-1. Основные положения

При сложении вращений твердого тела, направленных в одну сторону вокруг двух параллельных осей, получается результирующее вращательное движение вокруг мгновенной оси, параллельной данным осям; направление результирующего вращения совпадает с направлением вращения вокруг данных осей. Мгновенная ось вращения тела делит расстояние между данными осями внутренним образом на отрезки, обратно пропорциональные величинам угловых скоростей составляющих вращений. Абсолютная величина мгновенной угловой скорости результирующего вращения равна сумме абсолютных величин угловых скоростей составляющих вращений (схема на рис. 196):

При сложении вращений твердого тела, направленных в разные стороны, вокруг двух параллельных осей, получается вращательное результирующее движение вокруг мгновенной оси, параллельной данным осям и делящей расстояние между этими осями внешним образом на отрезки, обратно пропорциональные величинам данных угловых скоростей. Вектор мгновгнной угловой скорости результирующего вращения лежит за большим вектором угловой скорости слагаемых вращений и направлен в ту же сторону. Абсолютная величина мгновенной угловой скорости вращения равна разности абсолютных величин угловых скоростей составляющих вращений (схема на рис. 197):

Совокупность вращений твердого тела, направленных в разные стороны, вокруг двух параллельных осей в случае, когда модули угловых скоростей данных вращений равны между собой, называется парой вращений Пара вращений эквивалентна мгновенному поступательному движению.

Рис. 196.

Рис. 197.

Скорость поступательного движения тела равна вектору-моменту пары вращений, т. е. скорость результирующего поступательного движения тела перпендикулярна к плоскости пары и направлена так, что если посмотреть с конца этого вектора, то мы должны видеть что пара стремится вращать плоскость пары против направления вращения часовой стрелки, а величина этой скорости равна произведению величин угловой скорости пары на кратчайшее расстояние между осями вращений (схема на рис. 198):

Рис. 198.

17-2. Решение задач

План решения задач

1. Рисуем схему сложения угловых скоростей.

2. Составляем пропорции для определения искомых угловых скоростей.

3. По найденным угловым скоростям находим искомые величины задачи

Задача 71. Зубчатое колесо I жестко скреплено с неподвижной осью зубчатое колесо IV и рама свободно насажены на ось Спаренные зубчатые колеса II и III свободно насажены на эту раму. При вращении рамы колеса II и III приводят во вращение колесо IV. Определить угловую

скорость вращения колеса IV, если рама вращается с угловой скоростью радиусы колес соответственно равны и (рис. 199).

Решение. 1. Рисуем схему сложения угловых скоростей. Так как колесо II одновременно вращается вокруг двух параллельных осей и 0,0,, то в данный момент это колесо вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку С касания колес I и II. Эта точка лежит между данными осями, следовательно, происходит сложение вращений, направленных в одну сторону (рис. 200).

Рис. 199.

Рис. 200.

2. Составляем пропорции для нахождения

где относительная угловая скорость колеса относительно рамы.

3. По найденной находим угловую скорость

Так как колеса II и III спарены, то колесо III в данный момент вращается вокруг той же мгновенной оси с той же угловой скоростью и зацепляет колесо Точка касания К колес имеет скорость:

Подставляя из соотношения (17-4) в (17-5), получим:

Задача 72. В схеме механизма задачи 71 колесо IV закреплено с неподвижной осью а колесо I свободно сидит на этой оси. Определить угловую скорость колеса I используя данные задачи 71.

Решение. 1. Рисуем схему сложения угловых скоростей. Колесо одновременно вращается вокруг двух параллельных осей и Мгновенная ось результирующего вращения колеса III проходит через точку К касания неподвижного колеса IV с колесом III. Эта точка делит расстояние между данными осями внешним образом, следовательно, происходит сложение вращений, направленных в разные стороны (рис. 201).

2. Составляем пропорции для определения

где относительная угловая скорость колеса III.

3. По найденной угловой скорости находим угловую скорость , колеса

Так как колеса II и III спарены, то колесо II вращается вокруг той же мгновенной оси с той же угловой скоростью, что и колесо III. Рассматриваем скорость точки С касания колес I и II:

Задача 73. Кривошип вращается с угловой скоростью вокруг оси О. Диск 2, свободно сидящий на пальце В кривошипа, катится без скольжения по неподвижному диску 1 и приводит в движение свободно сидящий на пальце А кривошипа диск 3 (рис. 202). Определить скорость точки С диска 3, если

Рис. 201.

Рис. 202.

Рис. 203.

Решение. Диск 3 совершает плоскопараллельное движение. Для того, чтобы найти скорость точки С этого диска, достаточно найти положение мгновенного центра скоростей и мгновенную угловую скорость вращения диска. Но это можно будет иайти, «ели удастся найти скорости двух каких-нибудь точек диска. Такими точками янляются точки Точка К одновременно

принадлежит диску 3 и диску 2, который одновременно вращается вокруг двух параллельных осей

1. Рисуем схему сложения угловых скоростей (рис. 203). Диск 2 катится без скольжения по неподвижному диску 1, следовательно, через точку касания этих дисков проходит мгновенная ось вращения результирующего движения диска 2.

Рис. 204

Точка Р делит расстояние между данными осями внутренним образом, поэтому происходит сложение вращений, направленных в одну сторону.

2. Составляем пропорцию для определения

3. По найденной угловой скорости находим скорость точки К.

Точка А, принадлежащая кривошипу имеет скорость:

Так как (рис. 204), то в данный момент диск 3 движется поступательно и поэтому

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)