4-5. Решение задач на равновесие системы сочлененных тел

Системой сочлененных твердых тел называется несколько твердых тел, касающихся друг друга или соединенных между собой посредством шарниров, стержней, нитей. Во многих задачах на равновесие системы сочлененных тел требуется найти силу, с которой одно сочлененное тело действует на другое. Такие задачи чаще всего решаются путем рассмотрения равновесия каждого тела в отдельности (если вся система тел находится в равновесии, то и каждое тело системы находится в равновесии). При рассмотрении равновесия каждого тела системы остальные тела системы будут являться связями, наложенными на это тело, а при освобождении данного тела от связей, действия связей заменяем силами — реакциями связей. При этом следует помнить, что силы взаимодействия двух тел равны между собой по абсолютной величине, лежат на одной прямой и направлены в разные стороны (по принципу равенства действия и противодействия). Иногда бывает выгодно рассматривать равновесие системы всех тел, вместе взятых, а затем уже рассматривать равновесие отдельного тела. Имея в виду принцип затвердевания (при затвердевании всякого нетвердого тела равновесие его не нарушается), всю совокупность тел нужно рассматривать как одно твердое тело. В этом случае в уравнения равновесия сил не войдут силы, с которыми отдельные тела действуют друг на друга.

Задача 18. На шар веса опирающийся на вертикальную стенку и наклонную балку действует сила (рис. 55) Однородная балка веса закреплена в точке О шарнирно и удерживается в наклонном положении при помощи вертикального троса Определить, пренебрегая трением, давление шара на балку и стену, реакцию шарнира и натяжение троса, если

Рис. 55.

Всего в данной задаче пять неизвестных: величина и направление реакции

Решение Рассматриваем равновесие балки и шара, вместе взятых, а затем равновесие только шара, придерживаясь плана решения задачи, изложенного ранее

А. Равновесие балки и шара

1 Рассматриваем равновесие балки и шара (рис. 56).

2. Изображаем активные действующие на балку и шар: вес шара, сила вес однородной Салки

3 Освобождаем балку и шар от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями являются вертикальная стена, цилиндрический шарнир О и трос Реакция стены направлена перпендикулярно стене (по радиусу шара). Реакция троса направлена по тросу. Реакцию шарнира О раскладываем на две составляющие

Рис. 56.

4 Выбираем систему координат, как указано на рис. 56.

5. Составляем уравнения равновесия системы сил, действующих на балку и шар. Эта система — система сил, как угодно расположенных на плоскости. Берем уравнения равновесия в следующей форме:

Б. Равновесие шара

1. Рассматриваем равновесие шара (рис. 57).

2. Изображаем активные силы: вес шара и силу

3. Освобождаем шар от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями являются: балка и вертикальная стена. Реакция стены направлена перпендикулярно стене, реакция балки направлена перпендикулярно балке

Рис. 57.

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 57.

5 Составляем уравнения равновесия системы сил, действующих на шар. Эта система — система сходящихся сил на плоскости. Следовательно, уравнения равновесия будут:

6. Решаем полученную систему пяти уравнений с пятью неизвестными:

так как

Из уравнения (4-35):

Из уравнения (4-34).

Из уравнения (4-31):

Из уравнения (4-33)

Из уравнения (4-32):

Ответ.

Давление шара на стену численно равно и направлено справа налево. Знак означает, что в действительности горизонтальная составляющая реакции шарнира О направлена в противоположную сторону.

Задача 19. На однородный параллелепипед веса опирающийся в точке А на гладкую наклонную плоскость и закрепленный шарнирно в точке В, действует сила направленная перпендикулярно грани (рис. 58). На однородный стержень веса закрепленный шарнирно в точке О и опирающийся на гладкую грань параллелепипеда концом К, действует сила Определить реакцию шарнира О, реакции в точках и шарнире В, если

Рис. 58.

Рис. 59.

Всего неизвестных в этой задаче шесть: (величина), (величина), (величина и направление), (величина и направление).

Решение. При решении задачи рассматриваем равновесие стержня и параллелепипеда в отдельности.

А. Равновесие стержня

1. Рассматриваем равновесие стержня (рис. 59).

2. Изображаем активные силы, действующие на стержень вес стержня. так как стержень однородный.

3. Освобождаем стержень от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями являются: цилиндрический шарнир О и гладкая грань параллелепипеда. Реакцию шарнира раскладываем на две составляющие Реакция в точке К перпендикулярна грани параллелепипеда.

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 59.

5. Составляем уравнения равновесия.

Полученная система — система сил, как угодно расположенных на плоскости.

Уравнения равновесия берем в следующей форме:

где

Б. Равновесие параллелепипеда

1. Рассматриваем равновесие параллелепипеда (рис. 60).

2. Изображаем активные силы, действующие на параллелепипед: вес однородного параллелепипеда и давление стержня По принципу равенства действия и противодействия и направлена противоположно направлению

Рис. 60.

3. Освобождаем параллелепипед от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями, наложенными на параллелепипед, являются: а) цилиндрический шарнир В и б) гладкая опора в точке Реакцию шарнира В раскладываем на две составляющие: Реакция в точке перпендикулярна наклонной плоскости.

4. Выбираем оси, как указано на рис. 60.

5. Составляем уравнения равновесия.

Полученная система — система сил, как угодно расположенных на плоскости.

Уравнения равновесия берем в следующей форме:

Для того чтобы облегчить нахождение момента силы относительно точки В, мы воспользовались теоремой Вариньона, разложив силу на составляющие по осям величина составляющей по оси величина составляющей по оси х).

6. Решаем полученную систему шести уравнений с шестью неизвестными:

Из уравнения (4-38):

Из уравнения (4-37):

Из уравнения (4-36):

Из уравнения (4-39):

Из уравнения (4-41).

Из уравнения (4-40):

Ответ.

Задача 20. Однородный стержень веса (рис. Ы) концом О шарнирно прикреплен к стене, а концом А опирается на гладкий пол. Однородный стержень веса прикреплен в точке К шарнирно к стержню Конец В стержня опирается на гладкую наклонную плоскость. В точке стержня приложена сила Определить реакцию шарниров а также реакции опорных поверхностей в точках если

Рис. 61

В этой задаче шесть неизвестных: (величина), (величина), (величина и направление), (величина и направление). При решении задачи рассматриваем равновесие обоих стержней в отдельности.

А. Равновесие стержня OA

1. Рассматриваем равновесие стержня (рис. 62).

2 Изображаем активную силу вес стержня.

3. Освобождаем стержень от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями явтяются: а) цилиндрический шарнир О, б) гладкая опора в точке стержень прикрепленный к стержню при помощи цилиндрического шарнира Реакцию шарнира О раскладываем на две составляющие: Реакцию шарнира К также раскладываем на две составляющие: Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.

Рис. 62

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 62.

5. Составляем уравнения равновесия.

Полученная система сил — система сил, как угодно расположенных на плоскости.

Уравнения равновесия берем в форме:

Б. Равновесие стержня BK

1. Рассматриваем равновесие стержня (рис. 63).

2. Изображаем активные силы, действующие на стержень:

— вес однородного стержня.

Рис. 63

3. Освобождаем стержень В К от связей, заменяя действие связей реакциями. Связями являются: а) гладкая наклонная стенка и б) стержень прикрепленный к стержню при помощи шарнира Реакция стенки перпендикулярна стенке. Реакцию шарнира К раскладываем на две составляющие: и причем в силу принципа равенства действия и противодействия составляющая направлена противоположно направлению составляющей а составляющая направлена противоположно направлению составляющей

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 63.

5. Составляем уравнения равновесия.

Полученная система сил — система сил, как угодно расположенных на плоскости.

Уравнения равновесия берем в форме: 0:

6. Решаем полученную систему шести уравнений с шестью неизвестными:

Из уравнения (4-47):

Из уравнения (4-46):

Из уравнения (4-45):

Из уравнения (4-44):

Из уравнения (4-43). Из уравнения (4-42):

Ответ:

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)