ГЛАВА IX. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

9-1. Основные положения

Центр тяжести твердого тела есть центр параллельных сил, лредставляющих веса материальных частиц твердого тела. Координаты центра тяжести однородного тела трех измерений (центр тяжести объема V) определяются по следующим формулам:

Координаты центра тяжести однородной плоской фигуры (центр тяжести площади s):

Координаты центра тяжести однородной линии длиною

Практические способы нахождения координат центра тяжести

1. Способ симметрии Если тело имеет плоскость симметрии или линию симметрии или центр симметрии, то центр тяжести находится соответственно в плоскости симметрии, на линии симметрии или в центре симметрии.

2. Спосоо разбиения. Если твердое тело можно разбить на такие части, положения центров тяжести которых известны, то центр тяжести тела находится как центр тяжести совокупности материальных точек, которые мы получим, если массу каждой части тела сосредоточим в ее центре тяжести

8. Способ отрицательных масс Если тело имеет вырез (отверстие), то для нахождения центра тяжести этого тела нужно применить способ разбиения, считая, что тело состоит из двух частей: одна часть — объем всего тела, включая и объем выреза, заполненный равномерно массой тела; вторая часть — вырез, заполненный массой, которую нужно брать со знаком минус.

4 Способ Гульдена. Первая теорема Гульдена. Площадь поверхности, полученной сращением отрезка плоской кривой (ломаной) около оси, лежащей в плоскости отрезка, но его не пересекающей, равна длине отрезка, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести отрезка (рис. 113):

где центр тяжести отрезка, длина отрезка ось вращения. Следовательно,

Рис. 113

Рис. 114

Вторая теорема Гульдена. Объем тела, полученного вращением плоской фигуры около оси, лежащей в плоскости фигуры, но ее не пересекающей, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры (рис 114):

где с — центр тяжести плоской фигуры, площадь фигуры, ось вращения фигуры. Следовательно,

Центры тяжести некоторых однородных линий, плоских фигур и тел

1. Центр тяжести дуги окружности (рис 115)

2. Центр тяжести кругового сектора

3. Центр тяжести площади треугольника находится в точке пересечения медиан треугольника, т. е. лежит на медиане, на одной трети ее длины, считая от соответствующей стороны треугольника (рис. 116).

Рис. 115.

Рис. 116.

4 Центр тяжести конуса (рис. 117)

Рис. 117

Рис. 118.

5. Центр тяжести полушара (рис. 118)

9-2 Решение задач

Задача 34. Пользуясь первой теоремой Гульдена, определить положение центра тяжести дуги полуокружности радиуса (рис. 119).

Решение. Дуга симметрична относительно оси следовательно,

Для нахождения применяем первую теорему Гульдена. При вращении дуги вокруг оси (рис. 120) получается сферическая поверхность радиуса с площадью длина дуги полуокружности

Рис. 119.

Рис. 120.

Ответ:

Задача 35. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 121, состоящей из стержней: а и дуги полуокружности радиуса а, если сечения стержней одинаковы, стержни однородны и сделаны из одного и того же материала.

Рис. 121.

Рис. 122.

Решение. Используем метод разбиения (рис 122) Разбиваем фигуру на стержни В этом случае координаты центра тяжести тела определяются по следующим формулам:

где

координаты центров тяжестей стержней, 1, 2, 3 — соответственно. После подсчета получаем. а.

Задача 36. Пользуясь второй теоремой Гульдена, определить положение центра тяжести площади полукруга (рис. 123).

Решение. Ось является осью симметрии пластинки, следовательно, Для нахождения применяем вторую теорему Гульдена:

где V — объем сферы, получившийся от вращения вокруг оси (рис. 124), площадь полукруга;

Рис. 123.

Рис. 124.

Получаем:

Ответ:

Задача 37. В полукруге радиуса (рис. 125) требуется найти такую точку С, которая будет центром тяжести площади, полученной из полукруга путем выреза равнобедренного треугольника

Решение. Для решения задачи используем способ разбиения и способ отрицательных площадей:

где высота треугольника площадь полукруга

— абсцисса центра тяжести полукруга, площадь треугольника абсцисса центра тяжести треугольника

Получаем:

Ответ.

Задача 38. В однородном цилиндре радиуса сделай соприкасающийся с ним цилиндрический вырез радиуса К этому цилиндру прикреплен пустотелый цилиндр (2)

Рис. 125

радиуса При какой толщине стенки второго цилиндра данное тело будет находиться в устойчивом равновесии в положении, указанном на рис. 126 (цилиндры одинаковой длины и сделаны из одного и того же материала)?

Решение. Условие устойчивости заключается а том, что в данном состоянии (рис. 126) центр тяжести тела должен занимать наинизшее положение по сравнению со всеми соседними положениями тела, т. е. (центр тяжести тела находится на оси у, так как эта ось — ось симметрии тела).

Рис. 126

Рис. 127

В самом деле. в положении соседнем к данному (рис. 127), возникает пара сил которая стремится возвратить тело в данное положение, если центр тяжести находится ниже точки если же центр тяжести тела находится выше точки О, (рис. 128), то пара сил стремится удалить тело из данного состояния равновесия.

Рис. 128

Рис. 129

В том случае, когда центр тяжести тела совпадает

с точкой О, пары, стремящейся повернуть тело, не существует. В этом случае тело находится в состоянии безразличного равновесия (рис. 129).

При решении задачи используем способ разбиения тела на части и способ отрицательных площадей:

где площадь круга радиуса — координата центра тяжести этого круга; площадь кругового зыреза радиуса координата центра тяжести этого выреза; площадь круга радиуса координата центра тяжести этого круга; площадь кругового выреза радиуса координата центра тяжести этого выреза;

Получаем

Очевидно, что

Ответ.

Задача 39. Тело состоит из однородного полушара радиуса и однородного цилиндра того же радиуса, скрепленных друг с другом, как указано на рис. 130. Какоза должна быть высота конусоидального выреза, чтобы тело находилось в данном состоянии в положении устойчивого равновесия (шар и цилиндр сделаны из одного и того же материала)?

Рис. 130.

Решение. Для того, чтобы тело находилось в данном состоянии в положении устойчивого равновесия, необходимо и достаточно, чтобы где координата центра тяжести тела (см решение задачи 38). Для нахождения воспользуемся способом разбиения тела на части и способом отрицательных объемов Разбиваем тело на полушар, цилиндр и пустотелый конус (отрицательный объем). Тогда будем иметь:

где объем полушара; координата центра тяжести этого полушара, объем цилиндра, координата центра тяжести этого цилиндра; V, — объем конуса; у, — координата центра тяжести конуса.

Получаем для определения следующее неравенство 2-й степени:

Откуда

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)