13-2. Решение задач с помощью формулы сложения скоростей точки

План решения задач

1. Изображаем точку в рассматриваемый момент времени.

2. Выбираем подвижную систему координат

3. а) Выделяем переносное движение точки по правилу, сформулированному в § 13-1.

б) Вычисляем величину вектора переносной скорости точки

в) Изображаем вектор переносной скорости точки.

4. а) Выделяем относительное движение точки по правилу, сформулированному в § 13 1.

б) Вычисляем величииу вектора относительной скорости точки (и,).

в) Изображаем вектор относительной скорости точки.

5. Нарисуем вектор абсолютной скорости точки как диагонал параллелограмма, построенного на векторах

6. Находим:

а) величину вектора по формуле косинусов и

б) направление вектора по теореме сииусов.

Задача 58. Велосипедист едет со скоростью . Найти абсолютные скорости и на педалей велосипеда в тот момент, когда педальный кривошип наклонен под углом 30° к горизонту, если длина этого кривошипа равна , а его угловая скорость равна .

Решение 1. Изображаем педали (точки) и в рассматриваемый момент времени (рис. 162).

Рис. 162.

2. Выбираем подвижную систему координат неподвижно связав ее с рамой велосипеда. Эта система координат движется поступательно.

3. а) Выделяем переносное движение точек и Для этого мысленно скрепляем их с подвижной системой координат. В этом случае данные точки будут принадлежать поступательно движущейся раме.

б) Вычисляем величины переносных скоростей точек В силу свойств поступательного движения тела будем иметь:

в) Изображаем векторы переносных скоростей точек (рис. 162).

4. а) Выделяем относительное движение точек Для втого мысленно останавливаем подвижную систему координат; в этом случае кривошип будет вращаться вокруг оси О, с угловой скоростью , как указано на рис. (162).

б) Вычисляем относительные скорости точек и

в) Изображаем относительные скорости этих точек:

5. Изображаем векторы абсолютных точек как диагонали параллелограммов, построенных на векторах относительной и переносной скоростей точек.

6. Находим величины и направления скоростей точек и

Задача 59. Тонкий стержень неподвижен, а проволочная окружность радиуса вращается в плоскости чертежа с постоянной угловой скоростью и вокруг точки О этого стержня. Найти абсолютную и относительную, по отношению к окружности, скорость колечка надетого на окружность и стержень.

Решение. 1. Изображаем точку в данный момент времени (рис. 163).

Рис. 163.

2) Выбираем подвижную систему координат неизменно связав ее с окружностью.

3. а) Выделяем переносное движение колечка Для этого мысленно точку скрепляем с подвижной системой координат, т. е. с окружностью. В этом случае точка будет принадлежать твердому телу, вращающемуся вокруг точки О с угловой скоростью

б) Вычисляем переносную скорость точки М. Радиус вращения точки будет

в) Рисуем вектор переносной скорости точки (рис. 163).

4. а) Выделяем относительное движение точки Для этого мысленно останавливаем подвижную систему координат. В этом случае колечко будет скользить по окружности.

б) Изображаем вектор относительной скорости точки касательный к окружности (рис. 163).

в) Вычисляем величину относительной скорости точки Так как абсолютная скорость точки направлена по

5. Находим величину абсолютной скорости точки

Задача 60. Кривошип (рис. 164) вращается с угловой скоростью вокруг оси О. Зубчатое колесо 2, свободно сидящее на оси А. катится без скольжения по неподвижному зубчатому колесу 1.

Рис. 164.

Рис. 165.

Определить абсолютную скорость точки В колеса 2 в тот момент, когда если см, см.

Решение. 1. Рассматриваем точку В в данный момент времени (рис. 165, этот рисунок для удобства представлен в более крупном масштабе).

2. Выбираем подвижную систему координат скрепив ее с кривошипом

3. а) Выделяем переносное движение точки В. Для этого мысленно скрепляем точку В с подвижной системой координат. В этом случае колесо 2 будет вращаться вокруг оси О с угловой скоростью

б) Вычисляем величину переносной скорости точки В. Так как в этом случае точка В принадлежит телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси с угловой скоросью то

в) Изображаем вектор переносной скорости точки

4. а) Выделяем относительное движение точки В Для этого мысленно останавливаем подвижную систему координат. В этом случае колесо 2 будет вращаться вокруг оси А с угловой скоростью

б) Вычисляем величину вектора относительной скорости точки Для того, чтобы определить относительную угловую скорость колеса относительно кривошипа рассматриваем движение точки касания колеса 2 с колесом 1. Так как качение колеса 2 по неподвижному колесу 1 происходит без скольжения, то следовательно, Итак см/сек.

в) Изображаем вектор относительной скорости точки В:

5. Изображаем вектор абсолютной скорости точки В как диагональ параллелограмма, построенного на векторах

6. Находим величину вектора по теореме косинусов, а направление по теореме синусов:

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)