4-2. Решение задач на равновесие тела при наличии идеальных связей (трение отсутствует)

Задача 11. Однородная балка (рис. 39) весом шарнирно закреплена на опоре А, а концом В она положена на катки. На балку, под углом действует сила Определить реакции опор взяв размеры с чертежа, если

Рис. 39

Решение. 1. Рассматриваем равновесие балки (рис. 40).

2. Изображаем силу вес балки (эта сила приложена к середине балки, так как балка однородная и постоянного сечения) и силу К Это активные силы, действующие на балку.

3. Освобождаем балку от связей, наложенных на нее. Связями являются: неподвижный цилиндрический шарнир А и подвижный цилиндрический шарнир В. Реакция опоры В направлена по нормали к опорной поверхности. Реакция шарнира А неизвестна ни по величине ни по направлению Для упрощения решения задачи раскладываем на составляющие.

Рис. 40.

Рис. 41.

Одна составляющая направлена по балке, другая — по перпендикуляру к балке (рис. 41) Обыкновенно при решении задач ограничиваются нахождением только составляющих, ибо величину и направление полной реакции можно очень просто найти по формулам:

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 40.

5. Составляем уравнения равновесия:

За точку моментов берем точку А, так как в этой точке сходятся две неизвестные силы и, следовательно, моменты их относительно точки А равны нулю:

6. Решаем полученные уравнения.

Из уравнения (4-7):

Из уравнения (4-5):

Из уравнения (4-6):

Итак

Задача 12. Вагонетка весом удерживается на наклонной плоскости с углом наклона канатом, перекинутым через блок и параллельным этой плоскости. Определить давление колес вагонетки на плоскость в точках и натяжение каната, если и причем С обозначает центр тяжести вагонетки (рис. 42).

Рис. 42.

Решение. 1, Рассматриваем равновесие вагонетки (рис. 43).

2. Изображаем силу вес вагонетки (активная сила, действующая на вагонетку).

3. Освобождаем вагонетку от связей, наложенных на нее. Связями являются гладкая наклонная плоскость (рельсы) и канат.

4. Выбираем осн координат, как указано на рис. 43.

5. Составляем уравнения равновесия:

Причем в уравнениях и (4-10) для облегчения решения задачи при нахождении моментов силы относительно точек применили первую теорему Вариньона, разложив силу на составляющие, величины которых равны по осям х и у — соответственно.

Рис. 43.

6. Решаем полученные уравнения.

Подобрав соответствующим образом форму уравнений равновесия, получили три уравнения с разделенными неизвестными. Из уравнения

Из уравнения :

Из уравнения (4-10):

Давления вагонетки на наклонную плоскость в точках равны по модулю реакциям но направлены в противоположные стороны.

Задача 13. Кран состоит из однородного стержня весом вращающегося на шарнире А и привязанного к закрепленной точке В цепью (рис. 44). К концу С стержня подвешен груз весом Определить натяжение цепи и реакцию шарнира А, если

Рис. 44

Рис. 45.

Решение. 1. Рассматриваем равновесие стержня (рис. 45).

2. Рисуем силу вес стержня и силу (активные силы, действующие стержень).

3. Освобождаем стержень от связей, наложенных на него. Связями являются: неподвижный шарнир А и цепь Реакцию шарнира раскладываем на две составляющие и как указано на рис. 45. Реакция цепи направлена по цепи.

4. Составляем уравнения равновесия:

При нахождении момента силы относительно точки А пользуемся первой теоремой Вариньона, разложив силу на две составляющие, равные по величине. — горизонтальная составляющая и вертикальная составляющая:

5. Решаем полученные уравнения.

Благодаря надлежащему выбору формы уравнений равновесия и трех точек моментов получилась система трех уравнений с разделенными неизвестными.

Из уравнения (4-11):

Из уравнения (4-12):

Из уравнения (4-13):

Ответ:

Задача 14. На однородную балку (рис. 46) веса конец А которой заделан в стену, действует сила перпендикулярная балке, и пара сил с моментом Определить реакцию заделки если

Рис. 46.

Рис. 47.

Решение. 1. Рассматриваем равновесие (рис. 47).

2. Изображаем активные (заданные) силы: вес балки и пару сил с моментом

3. Освобождаем балку от связей. Связью является неподвижная заделка. Действие заделки эквивалентно силе, разложенной

на составляющие и и паре с моментом Итак, имеем: пара с моментом и пара с моментом

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 47.

5. Составляем уравнения равновесия:

При составлении уравнений (4-14) и (4-15) использовано то положение, что сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. А при составлении уравнения (4-16) учитывалась теорема о том, что сумма моментов сил пары относительно любой точки плоскости равна моменту пары.

6. Решаем полученные уравнения.

Из уравнения (4-14):

Из уравнения (4-15):

Из уравнения (4-16):

7. Анализируем результаты решения задачи.

Знак минус в ответе указывает, что в действительности составляющая силы направлена в сторону отрицательного направления оси