10-3. Решение задач с помощью составления закона движения точки

План решения задач

1. Устанавливаем закон движения точки

2. Находим искомые величины

Задача 42. Тело бросают вертикально вверх со скоростью Одновременно с этим с предельной высоты, которую может достигнуть тело, начинает падать вертикально вниз другое тело, тоже с начальной скоростью Определить время по истечении которого тела встретятся, расстояние от земли и скорости обоих тел в момент встречи

Рис. 135.

Решение. 1. Устанавливаем законы движения и законы изменения скоростей обоих тел

Первое тело поднимается равнозамедленно (рис 135), следовательно,

Второе тело опускается равноускоренно, следовательно

2. Находим искомые величины из уравнений (10-11), (10-12), (10-13) и (10-14):

Получилась система четырех уравнений с пятью неизвестными:

но

где — время подъема первого тела на максимальную высоту И. Из уравнений (10-11) и (10-12) находим что

Из уравнений (10-16), (10-18) и

Из уравнений (10-15) и (10 17).

Задача 43. К концу нити, перекинутой через два небольших блока подвешены грузы и (рис. 136). Точку С нити, которая в начальный момент совпадает с точкой тянут по вертикали вниз с постоянной скоростью и. Найти скорость грузов, если

Рис. 136.

Решение. 1. Устанавливаем закон движения грузов и

Когда точка С совпадает с точкой то грузы и займут положения следовательно,

но

Так как точка С движется равномерно, то,

следовательно

2. Находим скорость груза по найденному закону

Задача 44. Две точки, расстояние между которыми в начальный момент равно движутся навстречу друг другу: первая — равномерно со скоростью из начала координат, вторая — равномерно-ускоренно с начальной скоростью и ускорением Найти графически место и врем» встречи этих точек.

Решение. 1. Устанавливаем законы движения данных точек. Первая точка движется равномерно, следовательно,

Вторая точка движется равноускоренно, поэтому

Знаки минусы в уравнении (10-21) взяты потому, что вторая точка движется навстречу первой; так как расстояние между точками при разнялось

Рис. 137.

2. Находим графически искомые величины. Для этого рисуем графики движений точек в системе координат (рис. 137). Координаты точки пересечения полученных графиков и есть искомые величины. Итак

Рис. 138.

Задача 45. Кривая скоростей представляет собой первую четзерть окружности радиуса см (рис. 138). Масштаб на оси абсцисс 20 сек в 1 см, масштаб на оси ординат в 1 см. Определить закон движения точки и путь, пройденный точкой до остановки.

Решение. 1. Устанавливаем закон движения данной точки:

Но уравнение окружности графика скорости:

Отсюда:

следовательно,

2. Находим путь, пройденный точкой до остановки:

Упражнения

(см. скан)