21-4. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему:

Изменение кинетической энергии системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующем перемещении системы:

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий точек системы:

Если система неизменяемая, т. е. расстояния между точками системы остаются неизменными (частным случаем такой системы является абсолютно твердое тело), то сумма работ всех внутренних сил системы равна нулю:

Кинетическая энергия системы равна кинетической энергии центра масс системы, считая, что в нем сосредоточена масса всей системы, плюс кинетическая энергия системы в ее относительном движении но отношению к поступательно движущейся системе координат, с началом в центре масс:

Кинетическая энергия поступательно движущегося твердого тела равна кинетической энергии любой точки этого тела, считая, что в этой точке сосредоточена масса всего тела:

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости вращения тела:

Кинетическая энергия тела, участвующего в плоскопараллельном движении, равна кинетической энергии центра тяжести тела, считая, что в нем сосредоточена масса всего тела, плюс кинетическая энергия тела в относительном (вращательном) движении тела по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре тяжести (ось перпендикулярна к направляющей плоскости):

Элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела:

Сумма элементарных работ сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна главному моменту сил, действующих на тело, относительно оси вращения, умноженному на элементарный угол поворота тела:

План решения задач

1. Выделяем и изображаем систему в текущий момент времени.

2. Изображаем внешние и внутренние силы, действующие на систему.

3. Составляем уравнение теоремы об изменении кинетическол энергии системы:

(Если силы, действующие на систему, переменные, а траектории точек приложения сил криволинейные, то следует брать теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме с последующим переходом к конечной форме путем интегрирования.)

4. Из полученного уравнения находим неизвестные величины.

Задача 101. В однородном тяжелом диске радиуса сделан круговой вырез радиуса Какую скорость нужно сообщить точке А диска, чтобы диаметр сделал у оборота (О — горизонтальная ось вращения диска, сопротивлениями пренебречь,

Рис. 266.

Рис. 267.

Решение. 1 Изображаем диск (диск — материальная система, состоящая из бесчисленного множества точек) в текущий момент времени (рис. 267).

2. Изображаем внешние силы, действующие на диск; вес диска и реакция оси вращения диска.

3 Составляем уравнение теоремы об изменении кинетической энергии системы в конечной форме: повороте диска на 120°.

так как диск — неизменяемая система.

так как точка приложения реакции неподвижна:

кинетическая энергия диска в конце движения.

Найденные величины подставляем в уравнение теоремы и получим:

4. Решаем полученное уравнение

Задача 102. Груз А веса поднимается по шероховатой наклонной плоскости с помощью барабана В веса и верезки. наматываемой на барабан (рис 268) Барабан приводится во ирацение вокруг горизонтальной оси О парой сил с моментом Определить скорость тела как функцию расстояния проходимого этим грузом, а также ускорение груза если коэффициент трения скольжения груза по наклонной плоскости равен угол наклона плоскости к горизонту равен а, радиус барабана рачен радиус инерции барабана относительно оси вращения равен Вначале система находилась в покое; массой веревки пренебречь.

Рис. 268

Решение. 1 Изображаем систему состоящую из груза барабана В и веревки (рис. 269) в текущий момент

2. Изображаем внешние силы действующие на систему: вес барабана, вес тела реакция оси барабана, нормальная составляющая шероховатой опорной плоскости и -сила трения скольжения (весом веревки пренебрегаем) и пар с моментом

Рис. 269.

3. Составляем уравнение теоремы об изменении кинетической энергии системы в конечной форме так как система состоит из трердых тел и гибкой нерастяжимой нити (связь, осуществленная в виде гибкой перастяжимой нити, является совершенной сьязью, т. е. 0):

так как точки приложения этих сил не перемещаются:

где угол поворота барабана при перемещении тела А на расстояние Очевидно,

Для определения реакции составляем дифференциальное уравнение движения поступательно движущегося груза А в проекции на ось у (рис. 270):

Следовательно,

так как вначале система находилась в покое. Получаем:

Рис. 270.

Найденные величины подставляем в уравнение теоремы:

4. Решаем полученное уравнение (21-25)

Для определения ускорения груз) А нужно продифференцировать уравнение (21-25) по времени, имея в виду, что

Теорему об изменении кинетической энергии системы целесообразно применять в тех случаях, когда из совокупности следующих величин: силы системы, совершающие работу, начальные и конечные скорости точек системы и их пути, неизвестна какая-нибудь одна величина и ее нужно определить.

Кроме того, выгодно применять эту теорему для определения ускорения. Для этого составляют уравнение теоремы на произвольном участке пути с последующим дифференцированием по времени обеих частей полученного равенства.

Упражнения

(см. скан)