ГЛАВА XXII. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

21-1. Принцип Даламбера

Если точки движущейся материальной системы мгновенно остановить и, кроме действующих на точки активных сил и реакций связей, приложить к ним силы инерции этих точек, имевшие место к моменту остановки, то и в дальнейшем эта система будет оставаться в покое.

Силой инерции точки называется сила, равная по величине произведению массы точки на величину ускорения этой точки и направленная противоположно ускорению:

Совокупность сил инерции частиц твердого тела, движущегося поступательно с ускорением эквивалентна равнодействующей масса тела, ускорение центра тяжести тела), линия действия которой проходит через центр тяжести тела.

Совокупность сил инерции частиц твердого тела, имеющего плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения, проходящей через центр тяжести, эквивалентна паре, плоскость которой перпендикулярна оси вращения и момент которой равен момент инерции тела относительно оси вращения).

Совокупность сил инерции частиц твердого тела, движущегося плоскопараллельно, в том случае, когда плоскость симметрии тела параллельна направляющей плоскости, а центр тяжести лежит на общей нормали к подвижной и неподвижной центроидам, проходящей через мгновенный центр скоростей, эквивалентна силе проходящей через мгновенный центр скоростей, и паре с моментом момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения тела).

План решения задач (Метод кинетостатики)

1. Выделяем и изображаем систему в текущий момент времени.

2. Изображаем активные силы, действующие на точки системы.

3. Освобождаем систему от связей, заменяя действие связей реакциями.

4. Прикладываем силы инерции точек.

5. Выбираем систему координат.

6. Составляем уравнения равновесия полученной системы сил.

7. Решаем уравнения равновесия.

Рис. 271

Задача 103. Два шара (рис. 271) весом каждый и радиусом закреплены на расстоянии а от оси и приводятся во вращение посредством груза С веса привязанного к веревке, намотанной на шкив В. Определить пренебрегая сопротивлениями и массами шкива, стержней и блока К, закон движения груза С, если Вначале система находилась в покое. Решение. А. Применяем метод кинетостатики к грузу С.

1. Изображаем груз С в текущий момент (рис. 272 а).

2. Изображаем активную силу (вес тела С) и натяжение

3. Прикладываем силу инерции груза С (груз С можно считать точкой, так как он движется поступательно).

4. Выбираем систему координат, как указано на рис. 272 а.

Рис. 272.

5. Составляем уравнение равновесия сил, приложенных к телу С:

получаем:

Получили одно уравнение с двумя неизвестными Т и w. Для составления недостающего уравнения рассматриваем движение шаров.

Б. Применяем метод кинетостатики к шарам.

1 Рассматриваем систему в текущий момент времени (рис. 272 6). Система состоит из двух шаров А и шкива В, связанных между собой стержнями и

2 Рисуем активные силы, действующие на систему: вес шара, натяжение веревки.

3 Освобождаем систему от связей, заменяя действия связей реакциями: реакция подпятника и реакция подшипника.

Рис. 273.

4. Прикладываем силы инерции точек системы В шарах А берем точки одинаковых масс отстоящие на одинаковых расстояниях от оси вращения (рис. 273). Силы инерции этих точек раскла дываем на касательные и нормальные составляющие (эти составля ющие, очевидно, будут попарно равными по величине).

5. Выбираем систему координат, как указано на рис. 272 6.

6. Составляем уравнение равновесия сил, приложенных к системе:

так как линия действия силы параллельна оси так как линия действия силы пересекает ось;

Следовательно,

Уравнение моментов принимает следующий вид:

7. Решаем полученные уравнения (22-1 а) и ( Так

то получаем:

масса шара, момент инерции шага относительно оси, проходящей через центр тяжести шара, а поэтому

Следовательно, груз С опускается с постоянным ускорением из состояния покоя, поэтому

Задача 104. Груз В весом опускаясь, приводит в движение посредством невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок К, груз А весом по шероховатой наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом (рис 274).

Рис. 274,

Рис. 275.

Определить горизонтальную составляющую давления наклонной плоскости на выступ С и натяжение нити, если коэффициент трения скольжения тела А по наклонной плоскости равен

Решение 1 Рассматриваем систему, состоящую из тела А, тела В, клина блока К и нити в текущий момент времени (рис. 275)

2 Изображаем активные силы, действующие на систему: вес тела вес тела вес клина.

3. Освобождаем систему от связей, заменяя действия связей реакциями: реакция выступа и реакция горизонтальной опорной поверхности клина (внутренние силы, как известно, в уравнения равновесия не входят).

4 Прикладываем силы инерции точек системы. — силы инерции грузов (грузы можно считать точками, так как они движутся поступательно).

5. Выбираем систему координат, как указано на рис. 275

6. Составляем уравнение равновесия системы:

Получили одно уравнение (22-1 с) с двумя неизвестными Для составления недостающих уравнений рассматриваем движение грузов в отдельности, применяя принцип Даламбера.

А. 1. Рассмотрим систему, состоящую из тела А, в текущий момент (рис. 276).

2 Изображаем активную силу действующую на тело, и натяжение нити

Рис. 276.

Рис. 277.

3. Освобождаем тело А от связей, заменяя действие связей реакциями: (нормальная составляющая полной реакции шероховатой опорной плоскости), (касательная составляющая полной реакции шероховатой опорной плоскости — сила трения скольжения).

4. Прикладываем силу инерции груза А.

5. Выбираем систему координат, как указано на рис. 276

6. Составляем уравнения равновесия сил:

Из этих уравнений получаем:

Б. 1. Рассматриваем систему, состоящую из тела В, в текущий момент времени (рис. 277).

2. Изображаем активную силу Q (вес тела В), действующую на тело и натяжение нити

3. Прикладываем силу инерции груза В.

4 Выбираем систему координат, как указано на рис. 277. 5. Составляем уравнения равновесия сил, приложенных к телу В:

Получаем:

Из уравнений (22-1 с), (22-1 d) и (22-1 е) находим неизвестные величины, имея в Еиду, что

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)