21-2. Теорема об изменении количества движения системы

Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему:

где количество движения системы; главный вектор внешних сил, действующих на систему.

Производная по времени от проекции количества движения системы на какую-нибудь неподвижную ось равна проекции на ту же ось главного вектора всех внешних сил, действующих на систему:

Количество движения системы равно количеству движения центра инерции системы, считая, что в этом центре сосредоточена масса всей системы:

где масса всей системы, скорость центра инерции системы.

Теорема об изменении количества движения системы в преобразованном Эйлером виде часто применяется к изучению движения сплошных сред (жидкостей и газов при скоростях, далеких от скорости звука).

Главные векторы объемных и поверхностных сил и векторы количества движения масс жидкости, входящих и выходящих сквозь сечения трубы в единицу времени, направленные внутрь выделенного объема, образуют замкнутый многоугольник (геометрическая сумма этих векторов равна нулю — рис. 251а и 251б):

Рис. 251.

План решения задач (Система дискретных точек и тел)

1. Выделяем и изображаем систему в текущий момент.

2. Изображаем внешние силы, действующие на систему.

3. Выбираем неподвижную систему координат.

4. Составляем уравнения теоремы об изменении количества движения системы в проекциях на оси выбранной системы координат.

5. Интегрируем полученные дифференциальные уравнения.

6. Составляем начальные условия задачи.

7. Определяем произвольные постоянные интегрирования по начальным условиям.

8 Найденные произвольные постоянные подстазляем в результат интегрирования дифференциальных уравнений.

9. Из полученных уравнений находим неизвестные величины.

Задача 97. Прямоугольный клин с углом а весом поставлен на горизонтальную плоскость (рис. 252). На него положено тело весом и тело В весом связанные между собо гибкой нерастяжимой нитью перекинутой через блок С. Определить зависимость между скоростью клина и относительной по отношению к клину скоростью грузов если опорные поверхности гладкие и в начале движения система находилась в покое. Массами блока и нити пренебречь.

Решение. 1. Изображаем систему, состоящую из грузов клина, нити и блока С а текущий момент времени (рис. 253).

2. Изображаем внешние силы действующие на систему нормальная реакция гладкой горизонтальной опорной плоскости).

Рис. 252.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 253.

4. Составляем уравнение теоремы об изменении количества движения системы в проекции на ось

Следовательно

5. Интегрируем полученное дифференциальное уравнение

Рис. 253.

Получаем:

где произвольная постоянная интегрирования.

6. Составляем начальные условия: при

7. Определяем произвольную постоянную с, по начальному условию движения, получаем

8. Найденную произвольную постоянную подставляем в уравнение (21-8а), будем иметь:

9. Из полученного уравнения находим

где количество движения груза - количество движения груза количество движения клина.

Количество движения каждого тела подсчитывается, как количество движения материальной точки, так как каждое тело движется поступательно:

Для определения скоростей грузов относительно неподвижной системы координат используем формулу сложения скоростей в сложном движении точки: следовательно,

Имея в виду то положение, что проекция геометрической суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций составляющих на ту же ось, получаем:

Из рис. 254 видно, что

Рис. 254.

(Для выделения переносного движения тел мы скрепляем их с подвижной системой координат которая неподвижно связана с клином.)

(Для выделения относительного движения тел мы мысленно останавливаем подвижную систему координат

(Мы сделали предположение, что все тела системы движутся слева направо; будет ли это так, укажет результат решения задачи.)

Итак,

Отсюда:

Знак показывает, что клин движется справа налево.

План решения задач (Движение жидкости)

1. Выделяем объем жидкости в трубе.

2. Изображаем объемные силы поверхностные силы действующие на выделенный объем, а также векторы количеств движения масс жидкости, входящих и выходящих сквозь сечения трубы в единицу времени, направляя эти векторы внутрь выделенного объема.

3. Выбираем систему координат.

4. Составляем уравнения равновесия сил, приложенных к выделенному объему:

5. Из уравнений равновесия находим неизвестные величины.

Задача 98. Определить добавочное давление на опору А колена трубы, если ось трубы расположена в горизонтальной плоскости, скорость воды при входе диаметр сечения равен 30 см, скорость течения воды при выходе (рис. 255).

Рис. 255.

Рис. 256.

Решение. 1. Выделяем объем трубы (рис. 256).

2. Изображаем реакцию RA опоры А (поверхностная сила), векторы (вес колена трубы и весжидкости, заключенной в этом колене, не оказывают влияния на величину до» бавочного давления).

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 256.

4. Составляем уравнения равновесия сил, действующих на колено и лежащих в горизонтальной плоскости:

5. Из полученных уравнений равновесия находим неизвестные величины:

где

Рекомендация: Теорему об изменении количества движения системы целесообразно применять в тех случаях, когда имеет место закон сохранения количества движения системы и, кроме того, когда система представляет собою сплошную среду (жидкость или газ, при скоростях, далеких от скорости звука), движущуюся в сосуде; нужно найти давление среды на стенки сосуда.

Упражнения

(см. скан)