I. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

ГЛАВА I. СИЛЫ, ЛИНИИ ДЕЙСТВИЯ КОТОРЫХ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ

1-1. Равновесие трех сил

Рассмотрим равновесие тела под действием только трех сил, а затем перейдем к рассмотрению равновесия тела под действием какого угодно количества сил линии действия которых пересекаются в одной точке.

При решении задач на равновесие трех сил удобно пользоваться геометрическим способом, как наиболее наглядным.

Рис. 15

Для того, чтобы три силы, приложенные в одной точке твердого тела, находились в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы силовой треугольник, построенный на этих силах, был замкнутым. Следует обратить внимание: что в замкнутом силовом треугольнике конец каждого предыдущего вектора совпадает с началом следующего (рис. 15), и на теорему о трех силах.

Если три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, уравновешиваются, то их линии действия пересекаются в одной точке.

План решения задач

При решении задач необходимо придерживаться следующего плана:

1 Выделяем материальную систему (тело или материальную частицу), равновесие которой следует рассмотреть. Такой

системой является то тело, к которому приложены заданные силы и искомые реакции.

2. Изображаем активную силу, действующую на материальную систему, равновесие которой рассматриваем.

3. Освобождаем эту систему от связен, заменяя действие связей реакциями.

4. Строим замкнутый силовой треугольник. Построение замкнутого силового треугольника всегда начинаем с известной силы.

В том случае, когда возникают затруднения в выборе правильного направления реакции в ту или иную сторону (например, выбор направления реакции тонкого невесомого стержия), рекомендуется это направление установить из условия замкнутости силового треугольника и затем изобразить реакции на основном чертеже, с целью выяснения характера работы данного элемента конструкции (так, например, можно узнать, работает ли стержень на сжатие или растяжение).

5- Решаем силовой треугольник. По известным элементам треугольника находим его неизвестные элементы.

Если силовой треугольник косоугольный, то при решении используется теорема синусов. Иногда выгодно использовать условие пропорциональности сторон двух подобных треугольников (силового и треугольника на основном чертеже).

Для удобства рекомендуется получить решение задачи, если это не усложняет решение, в алгебраическом (общем) виде, проверить правильность полученных формул по размерностям всех слагаемых (размерности всех слагаемых должны быть одинаковыми). Затем необходимо выбрать систему единиц, в которой нужно получить ответ, и все данные, перед подстановкой их в полученные формулы, перевести в эту систему. Большинство задач надо решать с точностью до трехзначных цифр (точность логарифмической линейки). У полученного численного результата нужно писать наименование.

1-2. Решение задач

Задача 1. Уличный фонарь (рис. 16) весом подвешен к столбу с горизонтальной поперечиной и подкосом Найти усилия и в стержнях и считая крепления в точках шарнирными.

Решение 1. Рассматриваем равновесие узла С (болт шарнира С).

2. Изображаем активную силу действующую на узел С.

3. Освобождаем узел С от связей, наложенных на него Связями являются стержни и Реакции стержней лежат на осях стержней (рис. 17). Направление реакций найдем из. силового треугольника.

4. Строим замкнутый силовой треугольник (рис. Построение треугольника начинаем с известной силы Рисуем силу в виде вектора произвольной величины.

Рис. 16.

Рис. 17.

Выбирая определенную величину этого вектора, мы, тем самым, устанавливаем масштаб, в котором будет построен силовой многоугольник. Далее, через начало вектора проводим линию, параллельную одному из стержней, например, стержню Через конец вектора проводим линию, параллельную стержню Получили замкнутый силовой треугольник Таким образом, нашли направления реакций стержней.

Рис. 18.

Реакция стержня по направлению совпадает с направлением вектора направлена от узла С. Следовательно, стержень растягивается Реакция стержня по направлению совпадает с направлением вектора т. е. направлена к узлу С, стержень сжимается.

5. Решаем силовой треугольник Этот треугольник прямоугольный

Но как углы с соответственно параллельными сторонами. Поэтому

Следовательно.

Принято сжимающее усилие в стержне выражать отрицательным числом, а растягивающее — положительным.

Задача 2. Балка, весом которой пренебрегаем, шарнирно закреплена на опоре А, концом В она положена на катки. На балку действует вертикальная сила равная Определить реакции опор взяв размеры с чертежа (рис. 19)

Рис. 19.

Решение 1. Рассматриваем равновесие балки (рис. 20).

2. Изображаем силу активная сила).

3. Освобождаем балку от связей, наложенных на нее. Связями являются: неподвижный шарнир А и опора на каток В. Реакция перпендикулярна опорной поверхности Для нахождения линии действия реакции шарнира А применяем теорему о трех силах. Находим точку О пересечения прямых сил , затем точку О соединяем с точкой А. Это и будет линия действия реакции Направление реакции находим из замкнутого силового треугольника.

4. Строим замкнутый силовой треугольник. Построение начинаем с известной силы Изображаем силу произвольной величины; через начало этого вектора проводим прямую, параллельную, например, отрезку через конец вектора проводим прямую, параллельную отрезку Получили замкнутый силовой треугольник (рис. 21). Из условия замкнутости

вого треугольника заключаем, что реакция направлена к точке О (реакцию отмечаем на рис. 20).

5. Решаем силовой треугольник На рис. как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Рис. 20.

Рис. 21.

На рис. 21 , так как Далее, как углы с соответственно параллельными сторонами.

Применяем теорему синусов к треугольнику

Отсюда,

Из рис. 20 видно, что

Итак,

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)