Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 21-3. Теорема об изменении момента количества движения системыПроизводная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна главному моменту относительно того же центра всех внешних сил, действующих на систему:
Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какой-нибудь неподвижной оси, равна главному моменту относительно той же оси всех внешних сил, действующих на систему:
где
Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость вращения тела;
Моменты инерции некоторых однородных тел1. Момент инерции тонкого стержня (рис. 257):
где 2. Момент инерции толстостенного цилиндра (рис. 258):
где
Рис. 257.
Рис. 258. 3. Момент инерции диска (цилиндра) (рис. 259):
где
Рис. 259.
Рис. 260. 4. Момент инерции тонкостенного цилиндра (кольца, обруча) (рис. 260):
где
Рис. 261. Радиусом инерции тела относительно какой-нибудь оси называется такое расстояние от оси, в конце которого нужно в одной точке сосредоточить массу тела так, чтобы момент инерции точки относительно данной оси равнялся моменту инерции тела относительно той же оси:
План решения задач1. Выделяем и изображаем систему в текущий момент времени. 2. Изображаем внешние силы, действующие на систему. 3. Выбираем систему координат. 4. Составляем уравнения теоремы об изменении момента Количества движения системы в скалярной форме:
Для упрощения решения задач рекомендуется сначала вычислять правые части уравнений. 5. Проинтегрируем полученные дифференциальные уравнения. 6. Составляем начальные условия задачи для определения произвольных постоянных интегрирования. 7. Определяем произвольные постоянные интегрирования по начальным условиям задачи. 8. Найденные произвольные постоянные подставляем в результат интегрирования уравнений. 9. Из полученных уравнений находим неизвестные величины задачи. Задача 99. По хорде
Рис. 262.
Рис. 263. Найти угловую скорость вращения платформы, если масса платформы равномерно распределена по всему кругу; человек движется по закону Решение. 1. Изображаем систему в текущий момент времени. Система состоит из платформы, человека и оси 2 Изображаем внешние силы, действующие на систему: 3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 263. 4. Составляем уравнение
так как линии действия этих сил параллельны оси моментов, либо пересекают ось. Следовательно,
5. Интегрируем полученное уравнение получаем
6. Составляем начальные условия движения. При 7. Определяем произвольную постоянную интегрирования с. Так как
получаем 8. Найденную произвольную постоянную с, подставляем, в уравнение (21-16а) — результат интегрирования дифференциального уравнения. Будем иметь 9. Из полученного уравнения находим неизвестную угловую скорость
где
Мы сделали предположение, что платформа вращается против направления вращения часовой стрелки. Будет ли это так, покажет результат решения задачи. Для нахождения
так как (см. скан) Следовательно,
Рис. 264. Знак Задача 100. Однородный диск радиуса
Рис. 265. Решение. 1. Изображаем систему в текущий момент времени. Материальной системой является диск (рис. 265). 2. Изображаем внешние силы, действующие на систему: 3. Выбираем систему координат, как указано на рис, 265 (правая система координат). 4. Составляем уравнение теоремы об изменении момента количества движения системы относительно оси подвеса диска:
получаем
Рассматриваем малые колебания, т. е.
Дифференциальное уравнение малых колебаний диска будет иметь следующий вид:
где 5. Интегрируем полученное дифференциальное уравнение движения диска Общее решение этого дифференциального уравнения:
(см. решение задачи 82). 6. Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных. При 7. Определяем произвольные постоянные интегрирования а и а по начальным условиям задачи. Для этого подставляем начальные условия в уравнения:
Получаем:
следовательно,
8. Найденные произвольные постоянные подставляем в общее решение дифференциального уравнения движения диска и получаем закон движения диска:
9. Находим период малых колебаний диска по известной формуле
Рекомендация: Теорему об изменении момента количества движения системы целесообразно применять в тех случаях, когда имеет место закон сохранения этого момента относительно центра или оси и, кроме того, когда система является твердым телом, вращающимся вокруг неподвижной оси. Упражнения(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|