21-3. Теорема об изменении момента количества движения системы

Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна главному моменту относительно того же центра всех внешних сил, действующих на систему:

Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какой-нибудь неподвижной оси, равна главному моменту относительно той же оси всех внешних сил, действующих на систему:

где

Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость вращения тела;

Моменты инерции некоторых однородных тел

1. Момент инерции тонкого стержня (рис. 257):

где длина стержня, масса стержня.

2. Момент инерции толстостенного цилиндра (рис. 258):

где масса цилиндра, внешний радиус цилиндра, внутренний радиус цилиндра.

Рис. 257.

Рис. 258.

3. Момент инерции диска (цилиндра) (рис. 259):

где масса цилиндра, радиус основания диска (цилиндра).

Рис. 259.

Рис. 260.

4. Момент инерции тонкостенного цилиндра (кольца, обруча) (рис. 260):

где масса тонкостенного цилиндра; радиус цилиндра. Момент инерции твердого тела относительно любой оси равен моменту инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести тела, плюс масса тела, умноженная на квадрат расстояния между осями (рис. 261):

Рис. 261.

Радиусом инерции тела относительно какой-нибудь оси называется такое расстояние от оси, в конце которого нужно в одной точке сосредоточить массу тела так, чтобы момент инерции точки относительно данной оси равнялся моменту инерции тела относительно той же оси:

План решения задач

1. Выделяем и изображаем систему в текущий момент времени.

2. Изображаем внешние силы, действующие на систему.

3. Выбираем систему координат.

4. Составляем уравнения теоремы об изменении момента Количества движения системы в скалярной форме:

Для упрощения решения задач рекомендуется сначала вычислять правые части уравнений.

5. Проинтегрируем полученные дифференциальные уравнения.

6. Составляем начальные условия задачи для определения произвольных постоянных интегрирования.

7. Определяем произвольные постоянные интегрирования по начальным условиям задачи.

8. Найденные произвольные постоянные подставляем в результат интегрирования уравнений.

9. Из полученных уравнений находим неизвестные величины задачи.

Задача 99. По хорде горизонтальной платформы веса вращающейся вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, идет человек веса

Рис. 262.

Рис. 263.

Найти угловую скорость вращения платформы, если масса платформы равномерно распределена по всему кругу; человек движется по закону В начальный момент платформа находилась в покое; радиус платформы (рис. 262).

Решение. 1. Изображаем систему в текущий момент времени. Система состоит из платформы, человека и оси Массой оси пренебрегаем (рис. 263).

2 Изображаем внешние силы, действующие на систему: вес человека, вес платформы, реакция подшипника реакция подпятника В,

3. Выбираем систему координат, как указано на рис. 263.

4. Составляем уравнение теоремы об изменении момента количества движения системы:

так как линии действия этих сил параллельны оси моментов, либо пересекают ось. Следовательно,

5. Интегрируем полученное уравнение получаем

6. Составляем начальные условия движения. При

7. Определяем произвольную постоянную интегрирования с. Так как

получаем

8. Найденную произвольную постоянную с, подставляем, в уравнение (21-16а) — результат интегрирования дифференциального уравнения. Будем иметь

9. Из полученного уравнения находим неизвестную угловую скорость . Для этого подсчитываем для нашей системы:

где момент количества движения платформы относительно оси — момент количества движения человека (точки) относительно с

Мы сделали предположение, что платформа вращается против направления вращения часовой стрелки. Будет ли это так, покажет результат решения задачи.

Для нахождения воспользуемся теоремой Вариньона:

так как

(см. скан)

Следовательно,

Рис. 264.

Знак показывает, что платформа вращается по направлению вращения часовой стрелки.

Задача 100. Однородный диск радиуса см совершает колебания вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через точку А, причем Найти закон движения и период малых колебаний диска, если в начальный момент диаметр диска, проходящий через ось подвеса, был отклонен на угол и диск был предоставлен самому себе.

Рис. 265.

Решение. 1. Изображаем систему в текущий момент времени. Материальной системой является диск (рис. 265).

2. Изображаем внешние силы, действующие на систему: вес диска; составляющие реакции горизонтальной оси подвеса диска.

3. Выбираем систему координат, как указано на рис, 265 (правая система координат).

4. Составляем уравнение теоремы об изменении момента количества движения системы относительно оси подвеса

диска:

так как линии действия этих сил пересекают ось моментов.

получаем

Рассматриваем малые колебания, т. е. следовательно,

Дифференциальное уравнение малых колебаний диска будет иметь следующий вид:

где

5. Интегрируем полученное дифференциальное уравнение движения диска

Общее решение этого дифференциального уравнения:

(см. решение задачи 82).

6. Составляем начальные условия движения для определения произвольных постоянных.

При

7. Определяем произвольные постоянные интегрирования а и а по начальным условиям задачи. Для этого подставляем начальные условия в уравнения:

Получаем:

следовательно,

8. Найденные произвольные постоянные подставляем в общее решение дифференциального уравнения движения диска и получаем закон движения диска:

9. Находим период малых колебаний диска по известной формуле

Рекомендация: Теорему об изменении момента количества движения системы целесообразно применять в тех случаях, когда имеет место закон сохранения этого момента относительно центра или оси и, кроме того, когда система является твердым телом, вращающимся вокруг неподвижной оси.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)