2.1.2. Линейные модели

Большинство моделей для анализа систем обработки изображений обычно аппроксимируется с использованием предположения об их линейности. Такая линейная модель отображения, по существу, предопределяет характер реставрации, необходимой для инверсии искажений, так же как и структуру системы передачи кодированного изображения (для случая линейной аппроксимации системы).

Для того чтобы обеспечить удобство и согласованность записей и облегчить понимание, введем следующие обозначения

импульсная характеристика, или функция рассеяния точки (ФРТ) в предположении, что система отображения линейна.

Множество различных методов, используемых для цифровой обработки изображений, обусловило появление ряда моделей, отражающих попытки реставрировать изображения путем эффективной инверсии искажающего явления, происходящего при отображении оригинала. Пусть изображение оригинала искаженное оператором так что

Искажение в системе описывается импульсной характеристикой, или функцией рассеяния точки которая физически соответствует выходу системы, когда на ее входе действует дельта-функция, или точечный источник света. Если при зондировании плоскости оригинала точечным источником вид импульсной характеристики сохраняется неизменным (исключая положение в плоскости изображения), то говорят, что система пространственно-инвариантна, т. е. имеется пространственно-инвариантная функция рассеяния точки (ПИФРТ) и действует соотношение

В противном случае имеем систему с пространственно-зависимой функцией рассеяния точки (ПЗФРТ), и сохраняет силу выражение (2.1). Большинство исследователей удовлетворяются моделью (2.2) с вариациями, учитывающими аддитивный или мультипликативный шум и т. п. Для нахождения по вполне пригодны методы преобразования Фурье, которые позволяют определить инверсию в (2.2), используя связь преобразования Фурье со сверткой. Так, в отсутствие шума

где фурье-образы функций соответственно, причем для определения требуется лишь произвести инверсию если она существует. При использовании моделей с ПЗФРТ методы преобразования Фурье оказываются неприменимыми, и для реставрации приходится привлекать более универсальные и более мощные методы инверсии.

Фиг. 2.1. Модель линейной системы отображения.

Для инверсии обеих описанных выше систем часто применяются три основных линейных метода, которые можно назвать

а) непрерывно-непрерывным,

б) непрерывно-дискретным и

в) дискретно-дискретным.

При первом методе анализа весь процесс реставрации изображения рассматривается как непрерывный (хотя в итоге он неизбежно осуществляется как дискретный). При втором методе анализа принимается, что оригинал непрерывен, а изображение представлено в виде отсчетов и, следовательно, дискретно. При третьем методе предполагается, что все компоненты преобразования дискретны; для реставрации в нем используются только численный анализ и принципы линейной алгебры. Модели отображения имеют следующие аналитические выражения для каждого из трех названных методов:

а) непрерывно-непрерывная модель

б) непрерывно-дискретная модель

в) дискретно-дискретная модель

В непрерывно-непрерывной модели (2.4) изображение получается просто интегрированием оригинала и функции рассеяния

точки аналоговыми средствами. Когда модель вводится в ЦВМ, изображение, оригинал и функция рассеяния точки дискретизи-руются на отсчетов соответственно.

В непрерывно-дискретной модели (2.5) подразумевается, что оригинал непрерывен (поскольку он является объектом реального мира), а датчик, формирующий изображение, дискретен, т. е. продискретизирован на отсчетов. Таким образом, получается скалярных значений следовательно, различных функций рассеяния точки

Наконец, в дискретно-дискретной модели считается, что как оригинал так и изображение представлены в виде одномерных векторов. Эти векторы могут быть образованы путем растрового сканирования двумерных функций либо с помощью какого-либо другого метода развертки, позволяющего получить все отсчетов. В данном случае четырехмерная функция путем растрового сканирования преобразуется в двумерную матрицу, имеющую размер

В этой главе мы ограничимся обсуждением дискретно-дискретной модели, которую иногда будем видоизменять, вводя дополнительные упрощающие предположения. В частности, когда искажающее явление можно представить разделимой моделью, (2.6) может быть заменено выражением

где дискретизированный вариант оригинала, дискретизированный вариант изображения, и столбец и строка соответственно, выражающие искажение оригинала. Таким образом, все матрицы в (2.7) имеют размер что существенно упрощает последующие вычисления.