5.15. Метод Шелла и Биро

Очевидный путь обеспечения положительного выхода состоит в том, чтобы принять

и затем попытаться найти В частотной области, используя тождество (5.9), имеем

можно определить, исходя из требования согласованности с изображением. Согласованность означает, что в полосе частот данных должно выполняться

Это условие можно также записать в виде

Однако левая часть (5.866) соответствует оценке с помощью инверсной фильтрации, полученной в разделе 5.9. Мы видим, что в качестве входов для алгоритма положительного ограничения можно использовать дискретные отсчеты решения полученного с помощью инверсной фильтрации.

Итак, согласованность выражается посредством (5.866). Однако из-за шума в измеряемом изображении выходы

могут содержать ошибку. Поэтому прежде, чем потребовать выполнения строгого равенства (5.866), мы можем использовать более слабое условие

выполнение которого зависит от выбора

С другой стороны, на частоте где ошибка инверсной фильтрации минимальна [см. (5.34)]. Поэтому для данной точки мы сохраняем требование строгого равенства:

В выражениях (5.87а) и (5.876) содержится формулировка задачи, данная Биро.

Необходимо сделать еще некоторые замечания относительно требования (5.876). Две части (5.876) представляют собой площади под кривыми Требование равенства означает, что окончательный выход должен получаться в результате чистого перераспределения энергии (без усиления) под ограниченной по полосе входной кривой Кроме того, поскольку линейно связано с истинным выражение (5.876) устанавливает полную энергию выхода равной энергии истинного объекта (с добавлением некоторого шума). Поскольку эта величина близка к достоверной оценке, можно было ожидать, что она поможет получению для (5.87а) сходящегося решения. Это предположение получило эмпирическое подтверждение.

Здесь важно заметить, что аппроксимация в (5.87а) и (5.876) в пределах требует определения только на полуинтервале Таково свойство операции свертки в (5.87а). Однако если для частот то эти значения также войдут в (5.87а) и (5.876); они «замешиваются» в интервал посредством операции свертки. В этом и состоит способ укладки большего числа степеней свободы в интервал данных с целью дальнейшего уменьшения минимума, достигаемого в (5.87а). Ниже мы еще вернемся к этому вопросу.

Предположим, что относительно некоторых составляющих известно, что они с большей вероятностью подвержены ошибкам, чем другие составляющие (в соответствии с имеющимися априорными сведениями об энергетических спектрах сигнала и шума). При этом (5.87а) полезно видоизменить путем введения мультипликативных весов для каждой так, чтобы уменьшить вероятное значение минимума (см. [8]). Укажем для примера, что малый вес при дает возможность свертке

значительно отклоняться от (5 (он), не затрагивая существенно соответствующего вклада в минимум. Такой прием логичен, если известно, что при он отношение сигнала к шуму мало. Однако без знания статистических характеристик сигнала и шума этот способ оказывается неосуществимым.

Шелл и Биро решили задачу, выражаемую (5.87а) и (5.876), различными способами, но оба пепользовали итеративные алгоритмы. Алгоритм Шелла имеет вид

где С — постоянная, Индекс обозначает номер итеративной оценки полное число входных отсчетов Начальная оценка подставляется в правую часть; при этом в левой части получается Затем в правую часть подставляется пока не будет выполнено определенное число итераций для которого допустимая ошибка. Такая вычислительная процедура называется методом последовательной подстановки (см., например, [52]).

Алгоритм (5.88) может быть получен путем внесения (5.876) в (5.87а) в качестве аддитивного условия Лагранжа и приравнивания нулю производной полученного выражения. Левая часть (5.88) по существу соответствует производной ограниченного члена (5.876) в составе этого выражения. Использованная в (5.88) нумерация итераций обусловлена методом последовательной подстановки.

Способ решения уравнений (5.87а) и (5.876), разработанный Биро, в общих чертах описан в работе [9]. Он основан на последовательных возмущениях неизвестных определяемых как

Входами служат

где

устанавливает интервал данных в частотной области. Шаг определяется как интервал дискретизации с учетом (5.76) и известной конечной протяженности исходного объекта и составляет

Для первой из описываемых ниже серий возмущений В этом случае отсчетов как раз достаточно для заполнения (5.87а) во всем интервале данных

Вначале за неизвестные в (5.87а) и (5.876) принимаются три величины тогда как все остальные А берутся равными нулю. Эти три неизвестные определяются как решения трех кубических уравнений, получаемых следующим образом. Присоединим условие (5.876) к (5.87а) в качестве аддитивного лагранжева члена. Затем приравняем нулю производные Полученные три кубических уравнения решаются с помощью эффективного алгоритма.

После выполнения первой аппроксимации обращаемся к поиску Первое решение для при этом сохраняется, а остальные приравниваются нулю. Затем вновь составляются и решаются три кубических уравнения для трех рассматриваемых неизвестных.

Далее обращаются к поиску При этом ранее полученные значения сохраняются, а остальные А приравниваются нулю. Три новых неизвестных находятся, как описано выше. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет получена тройка неизвестных

Такие возмущения неизвестных, которые производятся поочередно по тройкам до получения образуют один цикл процедуры возмущения.

После этого новый цикл начинается с того, что в качестве неизвестных берут опять центральную тройку а для всех остальных сохраняют прежние значения; затем переходят к частотам После того как будет вновь определена тройка неизвестных заканчивается второй цикл.

Результат каждого нового цикла выражается в дальнейшем уменьшении минимума в (5.87а). Однако после конечного числа циклов, скажем К, обнаруживается «насыщение», т. е. минимум перестает сколько-нибудь существенно уменьшаться. Что же делать дальше? И главное следует ли продолжать минимизацию?

Заметим, что входы образованы в результате инверсной фильтрации и поэтому содержат шум [см. (5.34)]. Подстановка вместо О в (5.87а) фактически показывает, что при условии (т.е. при идеально точной оценке Л) образуется остаточный ненулевой минимум

Пользователь может узнать вероятное значение располагая сведениями об энергетическом спектре шума и функции передачи системы.

Фиг. 5.11. Различные варианты распределения яркости звезды альфа Лебедя, полученного с помощью радиотелескопа в Нанси. Штрих-пунктиром показана запись измерения, пунктиром — результат инверсной фильтрации этой записи, а сплошной линией — положительная реставрация по методу Биро. Разделение двух пиков и отношение их яркостей а довольно хорошо согласуются с результатами прямого измерения телескопом с большей апертурой [9].

Поэтому логично продолжать попытки уменьшить минимум в (5.87а) только при условии, что он превышает значение (Еост). Допустим, что это так и есть, но при этом, как упоминалось выше, уже доведено до неуменьшающейся величины. В этом случае у пользователя остается единственный резерв — знание того, что разрешенные значения если они отличны от нуля, могут добавить в сумму (5.87а) новые степени свободы и тем самым обеспечить дальнейшее снижение

Учитывая это, далее производят возмущение тройки оставляя для всех остальных А прежние значения. Обычно при этом происходит весьма заметное уменьшение Затем снова производят возмущение самой центральной тройки, и этот процесс продолжают как прежде, используя, однако, в качестве наивысших частот

Если для вновь наступает насыщение и если при этом , то охватывают возмущениями следующие более высокие значения частот В конце концов становится ниже (Еост) и мы получаем искомое решение в виде

где определяется выражением (5.856). Здесь наивысшая частота, использованная в процессе возмущений. Вообще говоря, превышает полосу частот данных Следовательно, в таких случаях производится экстраполяция полосы частот.

Эффективной демонстрацией способа Биро было его применение для определения яркостного профиля двойной звезды альфа Лебедя. Экспериментальные данные были получены с помощью радиотелескопа в Нанси; они имели отношение сигнал/шум около 50. Соответствующие кривые показаны на фиг. 5.11.

Подробное исследование алгоритма Биро составило предмет диссертации Вонга [53].

5.15.1. Обсуждение

Для метода Шелла и Биро характерно, что при необходимости получить положительный выход, согласованный с входными данными, приходится выходить за пределы полосы частот данных. При этом предполагается, что остаточная ошибка учитывающая усиление шума, согласно (5.90), достаточно мала. Практически метод допускает довольно существенные уровни шума на входе, а двукратная и более сильная экстраполяция является скорее правилом, чем исключением.

Однако преимущества этих методов проявляются только на объектах, которые состоят из произвольной решетки импульсов на известном (например, нулевом) фоне. Поэтому, например, объект, состоящий из случайных ступенек, реставрируется обсуждаемым методом не намного лучше, чем с помощью плоской инверсной фильтрации. Граничные переходы улучшаются при этом сильнее, чем при инверсной фильтрации, но возникает большая осцилляция на плоских участках. Такой недостаток типичен для всех существующих схем реставрации с ограничением по положительности. По этому поводу см. также п. 5.19.2.