5.3. Интуитивные методы реставрации

Имеются по меньшей мере два метода нахождения которые подсказывает наша интуиция. В дискретной задаче (5.3) функция рассматривается как множество неизвестных в системе линейных уравнений. Решение непрерывной задачи (5.1) для людей с инженерной подготовкой сводится к выполнению преобразования Фурье с последующей фильтрацией результата. Мы обсудим оба этих подхода (в п. 5.3.1 и разделе 5.8 соответственно) и посмотрим, что они могут дать.

5.3.1. Инверсия матрицы уравнения дискретного отображения

Уравнение (5.3) фактически представляет систему уравнений, линейных относительно неизвестных Определив матрицу и векторы можем записать (5.3) в виде

При условии матрица [5] станет квадратной матрицей, имеющей инверсию, и тогда находится как

Следовательно, в отсутствие шума (5.14) дает точное решение задачи.

Однако наличие даже слабого шума в данных полностью разрушает решение, приводя к наложению на него паразитных осцилляций. Для иллюстрации этого факта служит фиг. 5.1 из работы Филлипса [1]. Максимальное значение шума составляет здесь 0,004 (среднее значение 0,0014) по шкале, где максимальный сигнал (без шума) достигает значения 3. Это дает чрезвычайно высокое и, по-видимому, недостижимое экспериментально значение отношения сигнал/шум Тем не менее

Фиг. 5.1. Иллюстрация искажений, присущих методу непосредственной инверсии матриц. Истинный объект соответствует гладкой кривой. Кривая с резкими изломами, помеченная индексом получена путем прямой инверсии согласно (5.14); при этом было принято Основная причина отказа от данного метода состоит в том, что вопреки предположению здесь и не предусмотрено никаких средств для сглаживания ошибок. В противоположность этому алгоритм Филлипса (5.22) обеспечивает сглаживание шума, зависящее от параметра у. Точки на графике, обозначенные крестиками, получены с помощью алгоритма (5.22) при

из фиг. 5.1 видно, что метод реставрации (5.14) дает очень плохой результат.

В чем причина такой гипертрофированной реакции данных на шум? В основном она состоит в том, что матрица [5], выражающая функцию рассеяния точки, в значительной степени заполнена нулевыми и малыми элементами вблизи диагонали, а вследствие этого содержит элементы с весьма большими значениями. Поэтому в точках где значения шума конечны, член выражающий ошибку в (5.14), становится весьма большим.

Причина того, что ошибка имеет осциллирующий характер, также объяснена Филлипсом [1]. Наблюдаемые инвариантны относительно синусоиды при больших которая добавляется к правильному решению Инвариантность вытекает из аннулирования положительных и отрицательных составляющих вида при операции суперпозиции (5.3). Очевидно, что только осциллирующая ошибка, подобная может вызвать такое аннулирование. Поэтому при наличии в данных шума любая оценка которая удовлетворяет только (5.3), может оказаться искаженной из-за присутствия

статного осциллирующего члена. Для преодоления этой трудности требуется, очевидно, учет еще каких-то обстоятельств, помимо необходимости удовлетворять (5.3).