2.4.3. Неразделимая простанственно-инвариантная функция рассеяния точки

Когда мы имеем неразделимую систему отображения (в прямоугольной или другой системе координат), объем вычислений существенно возрастает. В рассматриваемом случае

неразделимой ПИФРТ приходится использовать пакетный оператор. При этом матрица функции рассеяния точки соот ветствующая выражению (2.39)

принимает вид блочной тёплицевой матрицы размера

где каждая отдельная также является тёплицевой матрицей. К сожалению, поскольку здесь отсутствует разделимость, мы не можем выразить через единственное кронекерово произведение. Однако если произвести «циркуляризацию» отдельных тёплицевых матриц, чтобы обеспечить выполнение циклической (а не полной) свертки, то преобразуется в блочный циркулянт, и это дает возможность произвести дополнительные упрощения [24, 25]. Коль скоро является блочной матрицей-циркулянтом, она диагонализируется матрицей причем

Здесь - диагональная, а — блочная фурье-матрица (состоит из кронекерова произведения двух фурье-матриц размера Таким образом,

Между прочим, следует заметить, что столбцы или ряды матрицы образуют обобщенные функции Уолша и читателю следует учитывать, что — это не фурье-матрица размера содержащая элементов в виде корней из единицы, а матрица содержащая таких элементов. Таким образом, как следует из приведенного выше выражения, матрица обеспечивает разделимость, поскольку это касается двумерного изображения. Иначе говоря, представляет собой «пакетный» вариант двумерной матрицы преобразования Фурье. Однако она не обеспечивает разделимости функции рассеяния точки. Возвращаясь к проблеме реставрации, можем записать

но поскольку — унитарная матрица (кронекерово произведение унитарных матриц унитарно), мы имеем

где диагональная матрица, элементы которой обратны элементам Однако мы не производим деления на нуль и поэтому элементы, соответствующие нулевым, заменяем нулями. Из этих рассуждений следует, что предыдущее уравнение может быть реализовано на ЭВМ, если произвести разделимое двумерное преобразование над (т. е. выполнить что соответствует пакетному преобразованию затем выполнить поточечное умножение на элементов и произ. вести разделимое двумерное преобразование над результирующим вектором Описанная процедура, очевидно, есть не что иное, как типичная операция фильтрации, которая используется в огромном большинстве алгоритмов фильтрации, встречающихся при обработке изображений и выполняемых в области преобразования Фурье. Таким образом, двумерное преобразование Фурье, поточечное перемножение в преобразованной области и обратное преобразование Фурье векторно эквивалентны (2.61). Следовательно, при неразделимых ПИФРТ алгоритм реставрации может быть реализован как разделимый вплоть до операции фильтрации, выполняемой путем поточечного перемножения. Однако поскольку такое перемножение включает в себя только скалярные операции (а не векторные суммы), мы обходимся без перехода к пакетной системе обозначений в ЦВМ.