5.18. Решение Бурга для максимума энтропии

Как и в методе Шелла и Бпро, предположим, что в качестве входных данных используются оценки с помощью инверсной фильтрации Далее эти оценки служат для того, чтобы обычным образом ввести ограничения в энтропийный критерий

(5.94), назначая множители Лагранжа для каждого выражения

Вывод был проделан (но не опубликован) Бургом и лишь недавно появился в открытой литературе [54]. Поскольку он довольно велик, мы его не приводим. Результат имеет вид

причем неизвестных находятся как решения системы линейных уравнений

где

Последнее выражение связывает промежуточные величины с выходными данными

5.18.1. Осуждение

Изящество и эффективность решения уравнений (5.966) — (5.96г) проявляются в его замкнутости и простоте: требуется лишь решить (5.96в) и найденные подставить в (5.966). Благодаря этому для получения положительной оценки, согласованной с входными данными, не требуется итеративный алгоритм (в отличие от методов, описанных в разделах 5.15 и 5.16). Фактически названные простые машинные операции принципи

ально не отличаются от операций, которые необходимы для реализации линейных алгоритмов реставрации без ограничения по положительности; см., например, (5.26). Потенциальная экономия времени вычислений, обеспечиваемая алгоритмом Бурга, составляет его главное преимущество по сравнению с остальными алгоритмами положительной реставрации (которые являются итеративными).

Главный недостаток обсуждаемого метода состоит в его относительной чувствительности к ошибкам в данных Это объясняется тем, что ошибки не учитывались при выводе алгоритма. Например, в процессе вывода матрица, входящая в (5.96в), считалась неотрицательно определенной. Это было бы верно при условии, что совпадают с истинными значениями однако это не обязательно выполняется при наличии ошибок во входных данных.

Эта трудность обусловила получение неоднородных результатов при фактическом использовании метода. Широкие испытания метода на зашумленных данных были проведены Лакоссом [6]. На фиг. показан пример оценки объекта, согласно (5.966), при использовании семи наборов зашумленных данных одного и того же объекта Данные были искажены равномерным случайным шумом с нулевым средним и стандартным отклонением, составляющим 3,3% от максимального сигнала. Было использовано семь разных наборов значений шума. Утолщенной линией на фигуре показан результат реставрации идеального набора данных (с нулевым шумом). Мы видим, что боковые лепестки, соответствующие ложным деталям, относительно слабы, тогда как импульсы, соответствующие пикам истинного объекта, довольно узки. Такую реставрацию можно считать достаточно хорошей, особенно по сравнению с показанной на фиг. 5.13, а линейной реставрацией по тем же данным с использованием треугольной функции окна Правда, такое сравнение несколько неравноценно.

Дело в том, что примеры реставрации по максимуму энтропии на фиг. 5.13,6 после вычислений по алгоритму были перенормированы на единичный максимальный уровень. До перенормировки эти максимальные уровни довольно сильно отклонялись от истинного уровня, причем типичное отклонение составляло около ±20% (см. табл. 3 в работе [6]). Следует также заметить, что при увеличении шума от 3,3 до 5% происходило резкое увеличение ошибок.

Лакосс нашел частичное решение этой проблемы, обнаружив, что площадь центрального лепестка дает лучшую аппроксимацию истинного значения высоты пика, чем ее непосредственная оценка. Однако это верно только для очень узких импульсов

(кликните для просмотра скана)

в объекте. Но при какой ширине импульса точность определения высоты перестает улучшаться, и как точность связана с формой импульса? И, наконец, что будет, если пользователь встретится с неизвестной структурой, содержащей импульсы и широкие плоские зоны? Вот основные вопросы, которые не дают покоя геофизикам и астрономам,