4.2. Устойчивость

Устойчивость двумерного рекурсивного фильтра определяют коэффициенты знаменателя в выражении (4.1). Обобщенный критерий устойчивости дает теорема Шэнкса [10].

4.2.1. Теорема 1 (теорема Шэнкса)

Пусть есть полином относительно ; для того чтобы коэффициенты разложения по положительным степеням и сходились в абсолютном смысле, необходимо и достаточно, чтобы полином не принимал нулевых значений при одновременно меньших или равных единице.

В другой формулировке теорема утверждает, что если существуют любые значения и , при которых равен нулю, причем и одновременно меньше или равны единице по величине, то фильтр с передаточной функцией 1/6 (21,22) является неустойчивым. Если таких значений не существует, фильтр является устойчивым. Доказательство) [1]. Пусть

Требуется доказать, 1) что

если является аналитической функцией в области и 2) что указанное неравенство справедливо только в том случае, если является аналитической функцией в указанной области.

Первая часть доказательства. Если есть аналитическая функция в области то можно найти такое что будет аналитической функцией и в области

из чего следует, что

сходится в области в абсолютном смысле. Поэтому

Вторая часть доказательства. Если в проверках

то

сходится в абсолютном смысле в области последнее означает, что является аналитической функцией в области (что и требовалось доказать).

Корневые диаграммы

Чтобы воспользоваться данной теоремой для проверки устойчивости, вообще говоря, требуется определить весь континуум значений (21,22), при которых принимает нулевое значение. Область этих нулевых значений можно оценить следующим образом. Можно придавать переменной различные значения и находить корни полинома В относительно Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы все корни относительно были больше единицы при значении меньше единицы.

Пример 1 (неустойчивый фильтр)

Рассмотрим фильтр с передаточной функцией где

Положив получаем

Уравнение (4.6) — это квадратное уравнение относительно с комплексными коэффициентами. Таким образом, можно вычислить значения корней этого уравнения и графически отобразить их в виде функции координат точек размещения на -плоскости. На фиг. 4.3 показана контурная диаграмма для одного из корней относительно в функции комплексной переменной

Фиг. 4.3. Отображение единичного -круга и единичная -окружность для неустойчивого фильтра.

Выбранный корень относительно имеет наименьшее значение, поскольку требуется найти такие корни, для которых справедливо соотношение Контурные линии построены с приращением уровня на 0,1; жирная контурная линия соответствует значению Заштрихованная область соответствует соотношению и поэтому представляет собой отображение области, ограниченной единичной -окруж-ностью, в -плоскость при Рассматриваемый фильтр неустойчив, поскольку заштрихованная область пересекается единичной -окружностью.

Пример 2 (устойчивый фильтр)

На фиг. 4.4 показано отображение единичного -круга в -плоскость для полинома

Как и прежде, заштрихованная область обозначает отображение единичного -круга в -плоскость. В данном случае отображенный -круг не пересекается единичной -окружностью, т. е. фильтр с передаточной функцией устойчив. Фиг. 4.3 и 4.4 иллюстрируют тот факт, что корневые диаграммы симметричны относительно оси и. Благодаря этому можно ограничиться построением только верхней половины -плоскости.

Фиг. 4.4. Отображение единичного -круга и единичная -окружность для устойчивого фильтра.

Условия устойчивости для фильтра первого порядка

В том особом случае, когда в знаменателе используется полином первого порядка по обоим направлениям, отображение в -плоскость или отображение -плоскости в -плоскость является билинейным, что позволяет наложить особые ограничения на коэффициенты фильтра. Пусть где Фильтр с характеристикой будет устойчивым, если и только если удовлетворяются следующие условия: Условие 1

Условие 2

Условие 3

Эти три условия были сформулированы Шэнксом в его неопубликованных выкладках Доказательство было представлено Хуангом [1], который воспользовался теоремой 2 (см. ниже).

Примеры

Рассмотрим фильтр с передаточной функцией

Коэффициенты, используемые в (4.9), удовлетворяют всем условиям (4.8). Следовательно, фильтр с передаточной функцией (4.9) устойчив.

Пример неустойчивого фильтра дает передаточная функция вида

Коэффициенты фильтра удовлетворяют условиям 1 и 3 в (4.8), но не удовлетворяют условию 2.

Применение теоремы 1 для проверки устойчивости связано с нахождением корней полинома бесконечное число раз; на практике достаточно ограничиться нахождением корней в большом числе точек. Существует способ понизить «размерность» процедуры проверки на устойчивость, основанный на следующей теореме Хуанга.