2.2.2. Примеры представления изображений

Для целей сокращения полосы частот или кодирования при цифровой обработке изображений мы ищем эффективные средства накопления, минимизирующие ошибку усечения при значительном сокращении полосы частот. Методы кодирования преобразований основаны на переходе в преобразованную область с помощью матрицы определяемой выражением (2.9), и усечении, выполняемом путем придания определенным

Фиг. 2.3. Формат ортогонального разложения общего вида по внешним произведениям с разделимым ядром.

нулевых значений. Таким образом, в (2.16) будет меньше чем членов, и это выражение принимает вид

где некоторое подмножество коэффициентов из общего числа

Примеры ортогональных разложений общего вида с разделимым ядром удобнее всего представлять в форме, показанной на фиг. 2.3. Изображения внешних произведений представлены здесь в виде матрицы, которая служит для иллюстрации того, что изображение может быть разложено на показанные квадраты и с весами Для тех ортогональных систем базисных векторов, которые содержат чисто единичный вектор 1, множество действительных одномерных базисных векторов располагается в первом столбце и первой строке таблицы, представленной на фиг. 2.3. Множество возможных ортогональных систем для разложения изображения бесконечно; здесь обсуждаются только простейшие из них. На фиг. 2.4-2.7

Фиг. 2.4. Разложение по внешним произведениям для преобразования тождественности (черным и белым показаны значения и соответственно).

представлены изображения внешних произведений, которые иллюстрируют преобразование тождественности, преобразования Хаара, Адамара — Уолша и еще один вариант преобразования Адамара [3]. Во всех этих случаях т. е. преобразования по строкам и столбцам одинаковы. На фиг. 2.4-2.7 матрица принимает следующие значения [4]: а) преобразование тождественности

Фиг. 2.5. (см. скан) Разложение по внешним произведениям для преобразования Хаара (черным и белым показаны значения и —1 соответственно, заштрихованы значения 0).

б) преобразование Хаара

Фиг. 2.6. (см. скан) Разложение по внешним произведениям для преобразования Адамара-Уолша (черным и белым показаны значения и —1 соответственно).

или (см. фиг. 2.5, где ради упрощения полутонового представления опущен нормирующий коэффициент преобразование Адамара — Уолша

(см. фиг. 2.6),

Фиг. 2.7. (см. скан) Разложение по внешним произведениям для варианта преобразования Адамара (черным и белым показаны значения +1 и —1 соответственно).

г) вариант преобразования Адамара

Фиг. 2.8. (см. скан) Разложение по внешним произведениям изображения спутника: а — исходное изображение; преобразование Фурье; в — преобразование Адамара; г - преобразование Хаара.

д) преобразование Фурье

или (на фигуре не показано.)

Фиг. 2.9. Формат разложения общего вида по сингулярным значениям.

Разумеется, возможны различные сочетания ортогональных систем, при которых , однако из-за недостатка места они здесь не рассматриваются.

Чтобы проиллюстрировать применение подобных разложений, рассмотрим точечные решетки более высокой размерности, построенные на основе реальных изображений. На фиг. 2.8 представлены матрицы которые для данного конкретного изображения соответствуют разложениям по внешним произведениям в случае преобразования тождественности и преобразований Фурье, Уолша и Хаара. Изображения в преобразованных областях, соответствующие матрицам представлены в виде логарифмов амплитуд их элементов, что позволило согласовать воспроизводимые величины с узким динамическим диапазоном фотопленки. Таким образом, читатель фактически видит матрицу в которой

Как видно из фиг. 2.8, энергия изображения стремится сосредоточиться на нескольких избранных коэффициентах следовательно, чтобы обеспечить хорошее воспроизведение исходной картины, требуется сохранить лишь немногие члены разложения. Поскольку обсуждаемые разложения унитарны, энергия

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

изображения преобразуется так, что несколько больших коэффициентов представляют большую долю энергии изображения. Выбор подходящего разложения по внешним произведениям и передача выбранных коэффициентов составили содержание исследований по цифровому кодированию изображений посредством преобразований, при которых удалось уменьшить требуемую емкость памяти приблизительно в 10 раз [5].

В случае разложения по сингулярным значениям недиагональные коэффициенты которых равны нулю. Фиг. 2.9 иллюстрирует ортогональную систему функций, используемых при РСЗ. Рассматривая РСЗ как средство представления, сохраняющее лишь К таких внешних произведений, мы находим, что

причем норма разности составляет

Следовательно, монотонно убывающий порядок собственных значений минимизирует норму, или среднеквадратичную ошибку усечения.

На фиг. 2.10-2.13 показаны различные РСЗ изображений. Чтобы проиллюстрировать разложение изображений на их базисные двумерные составляющие, здесь представлены (в виде амплитуд их составляющих) отдельные выбранные изображения внешних произведений сингулярных векторов. Наряду с отдельными сингулярными векторными матрицами показаны также различные частные суммы этих матриц, чтобы продемонстрировать совокупное влияние отдельных внешних произведений на восстановление полного изображения. Очевидно, что для сохранения в изображении важной информации требуется лишь небольшое количество членов разложения.