5.13. Центральная роль априорного знания

Существует старая поговорка — «экстраполяция опасна». Ее смысл хорошо понимали те, кто брался за решение обсуждаемой проблемы. Однако искушения, вызываемые такими привлекательными вещами, как докторские степени, правительственные контракты и т. п., привели к тому, что возобладала другая поговорка — «было бы желание, а способ найдется»; и действительно, были разработаны некоторые полезные схемы экстраполяции.

Самые эффективные из используемых схем экстраполяции включают в себя наибольшее количество априорных ограничений, накладываемых на выход (Отметим, что индекс «экст» начиная с этого раздела опускается.) Эти ограничения описывают свойства которые существуют независимо от имеющихся данных следовательно, должны независимо вводиться в результат.

5.13.1. Знание ограниченной пространственной протяженности

Важным ограничением указанного типа является знание того, что отличается от нуля только на конечном интервале см. (5.1). Как ни удивительно, но одно лишь это ограничение обеспечивает однозначное продолжение при условии, что в данных об изображении не имеется шума. В кругах оптиков это положение было высказано, по-видимому, Волтером [44]. Рассмотрим связанные с этим соображения.

Если при то его спектр имеет вид

При этом производная может быть выражена как

Для любого физически реального интеграл в правой части должен быть единственным и (вследствие конечности пределов) конечным. Поскольку производные вполне определены, может быть представлен рядом Тейлора относительно любой частоты Это в свою очередь означает, что является аналитической функцией.

Аналитическая функция может быть однозначно определена для всех значений если изестны 1) все ее производные на одной частоте или 2) ее значения на конечном интервале частот (фактически первое вытекает из второго). Но благодаря инверсной фильтрации, согласно (5.35) и (5.36), оценка спектра оказывается известной фактически на всем конечном интервале частот Следовательно, с помощью инверсной фильтрации образуются все входы, необходимые для экстраполяции информации в частотной области.

По существу были предложены две схемы реставрации с экстраполяцией полосы частот, основанные исключительно на ограниченной пространственной протяженности. Мы дадим здесь краткое описание этих схем, учитывая в основном получаемое с их помощью ясное представление о проблеме экстраполяции. Мы не ожидаем, что они окажутся полезными на практике. Главной проблемой является проникновение шума на выход [согласно разделу 5.12, это связано с недостаточной гладкостью продолжения спектральной функции Основная причина этого дефекта состоит в том, что единственное априорное ограничение оказывается недостаточно сильным.

Метод Гарриса

Выражение (5.81) констатирует, что есть функция, ограниченная по полосе пространства. Следовательно, для верна теорема отсчетов (5.7а), которая в данном случае имеет вид

Благодаря инверсной фильтрации левая часть в принципе известна в пределах оптической полосы частот Подставляя далее, скажем, значений известного в пределах оптической полосы частот, в (5.82а), мы составим уравнений, линейных относительно неизвестных часть из которых лежит вне оптической полосы частот.

Далее с помощью (5.76) получаем

откуда видно, что решение для центральных отсчетов образует -членный ряд Фурье для неизвестного который обеспечивает экстраполяцию полосы частот, если

Таким образом, требуется лишь выбрать в (5.82а) пределы с достаточно большим и решить лннейных уравнений для неизвестных причем уравнения составляются на основе известного в пределах Идея такой экстраполяции была предложена Гаррисом [45].

Однако решение линейных уравнений (5.82а) математически эквивалентно решению линейных уравнений (5.3). Отметим также соответствие между экспериментальными данными и ФРТ вида в (5.82а) с данными и ФРТ общего вида в (5.3). Поэтому описываемый метод имеет те же неустранимые недостатки, что и метод прямой инверсии матриц, описанный в п. 5.3.1. Здесь может понадобиться обращение к методам сглаживания (но теперь уже в спектральной области), таким, как метод Филлипса (раздел 5.4) или Туми (раздел 5.5).

Поскольку гладкий спектр имеет сосредоточенное преобразование Фурье такое сглаживание делает эффективным метод Гарриса для решения задачи разрешения двух точек (где как раз требуется гладкий спектр — см. раздел 5.12). С другой стороны, для объектов общего вида этот метод, по-видимому, не имеет преимуществ по сравнению с непосредственной обработкой уравнения отображения, как описано в разделах 5.4 и 5.5.

Использование экстраполирующей функции окна

Обратившись к методу фильтрации, мы должны сразу же задать вопрос — может ли существовать экстраполирующая функция окна Для ее существования требуется, чтобы произведение на конечном интервале действовало так же, как на бесконечном интервале, т. е.

Интеграл слева выражает реставрированный выход с учетом функции окна. Поскольку имеет ограниченную пространственную протяженность, (5.83а) должно удовлетворяться только при значениях

Постоянная А в (5.83а), по-видимому, будет конечной.

Требование (5.83а) кажется невыполнимым. Однако метод Гарриса (5.82а) и (5.826) подразумевает, что экстраполированный выход получается с помощью чисто линейной операции над в интервале Это обнадеживающий признак, поскольку искомый фильтр выполняет как раз линейную операцию.

Фактически функция удовлетворяющая требованиям (5.83а) и (5.836), была найдена (см. [46]). Это удалось благодаря тому, что функция является ограниченной по полосе пространства (в соответствии с гипотезой об ограниченной протяженности). Решение имеет вид

где — четные, Чем больше тем лучше удовлетворяется требование (5.83а), однако тем меньше становится множитель А. В пределе при (5.83а) идеально выполняется, но (реставрация делается равномерно черной).

В (5.84а) входят функции вытянутого сфероида и их собственные числа эти функции были разработаны Слепяном и его сотрудниками (см., например, [47]). Сводка их свойств и обзор применений в оптике приводятся в работе [48].

Частный случай при в (5.83а) приводит к требованию, предъявляемому к чтобы ее определяемое посредством (5.53), было дельта-функцией. Фактически, как было найдено в работе [30], должна удовлетворять уравнению

где приближение порядка к дельта-функции вида

где — четные. Графики для случая показаны на фиг. 5.9 и 5.10.

Автор этой главы занялся исследованием функций после прочтения статьи Барнса [49], который первым применил функции для решения проблемы реставрации. Впоследствии для функций удалось найти интересное приложение, используя ее в качестве функции пропускания зрачка оптической системы, действующей в реальном масштабе времени [30, 48].

Фиг. 5.9. Экстраполирующая функция окна для случая Кривая симметрична относительно нулевой частоты. В широкой области у нулевой частоты она хорошо аппроксимируется косинусоидой. Частота и амплитуда 1140 быстро увеличиваются с приближением к граничной частоте О [47].

Конечно, при реальном использовании функции окна возникает трудность, связанная с тем, что экстраполируются без различия как сигнальная, так и шумовая составляющие входного изображения Поскольку полный фильтр, обрабатывающий выражается в виде то полный выход фильтра имеет вид До сих пор мы рассматривали только первый из этих двух членов выходного интеграла [в левой части (5.83а)].

Второй член обусловливает шумовой выход, который имеет

Этот член приводит к усугублению трудностей, связанных с возрастанием шума при применении инверсной фильтрации в чистом виде. Поскольку с ростом со шумовой член сохраняет постоянное значение, а отношение в (5.83в) возрастает по мере приближения к граничной частоте Но затем функция производит экстраполяцию этого усиленного шумового члена (для простоты предполагается, что также является функцией, ограниченной по полосе пространства). Эта экстраполированная часть шума, следовательно, поднимается еще выше в конечной полосе частот за граничной частотой и лишь после этого снова опускается к нулю. Понятно, что это приводит к существенному усилению шума по сравнению с инверсной фильтрацией.

Фиг. 5.10. Сплошной линией показано преобразование Фурье от функции окна на фиг. 5.9; эта кривая является также графиком функции Для сравнения штриховой линией показана полная функция рассеяния для инверсной фильтрации в полосе частот функции Пунктирной линией показана полная функция рассеяния для инверсной фильтрации в полосе частот, превышающей полосу в 6 раз. Таким образом, в результате умножения на функцию окна в (5.83а) спектр объекта при выбранном значении с экстраполируется в 6 раз [47].

Хотя были сделаны попытки дополнить этот основной метод некоторыми средствами подавления шума (см. [17, 50, 51]), перспективы его практического применения сомнительны.

Кроме серьезной проблемы экстраполяции шума, общий подход (5.83а) не свободен от таких недостатков, как значительная паразитная осцилляция, появление отрицательных выходов и чисто вычислительная проблема генерирования требуемых функций Знание только конечной протяженности, очевидно, не может оказать достаточно сильного влияния на оценку чтобы обеспечить значительную экстраполяцию в присутствии шума. Необходимы какие-то дополнительные сведения.