5.11. Линейные методы, основанные на статистическом подходе

Произвольный характер функции окна о котором говорилось выше, побудил ряд авторов попытаться построить производную функцию окна на основе какого-либо перспективного критерия, каким является, например, минимум среднеквадратичной ошибки . В таком случае цель применения функции состоит в снижении паразитной осцилляции в вызываемой «звенящей» реакцией системы и наличием случайного шума в данных. Последнее обстоятельство наводит на мысль воспользоваться вероятными (ожидаемыми) значениями.

5.11.1. Метод фильтрации по Винеру с учетом ограничения резкости

Указанные факторы побудили Хелстрома [39] использовать подход, основанный на применении фильтрации по Винеру. При этом функция передачи реставрирующего фильтра на которую умножается преобразование Фурье данных должна удовлетворять критерию качества МСКО в виде

где

(Бакус и Гильберт [42] применили несколько иной подход, который будет описан ниже.)

Задача отыскания в представленной здесь постановке легко решается, как показано в работе [39]. Однако интересно выяснить, что произойдет, если при реставрации мы присоединим к критерию (5.65а) ограничение общей резкости 5, определяемой как

Второе выражение получено с использованием тождеств (5.5), (5.10) и (5.12). Резкость здесь служит мерой общего содержания контурных градиентов в выходе

Таким образом, новый, более полный критерий можно выразить в виде

Из (5.67) видно, что степень воздействия резкости на ожидаемую ошибку (и на согласованность с входными данными) определяется параметром Этот параметр выполняет функцию, в известной мере аналогичную функции коэффициента сглаживания у в алгоритме Филлипса (5.15).

Если в (5.67) раскрыть члены с квадратами модулей, используя уравнение отображения (5.29) и предположение о статистической независимости объекта и шума

мы получим и

где энергетические спектры объекта и шума, определяемые согласно (5.4а). Ради краткости частотные аргументы всех функций в квадратных скобках опущены.

Теперь нетрудно видеть, что данная задача представляет собой задачу типа Эйлера — Лагранжа, причем выражение в квадратных скобках есть лагранжиан который не является функцией или Поэтому решение выражается просто в виде

Обе производные дают одинаковый результат

Обсуждение

Из полученной формулы видно, что фильтр, построенный на основе комбинированного критерия резкость, естественным образом распадается на два последовательных фильтра, которые действуют именно в этом порядке. Первый фильтр является реставрирующим по Хелстрому [39]; второй может рассматриваться как фильтр управления резкостью, поскольку при он приводит к ослаблению высоких частот, и тем самым к сглаживанию выхода тогда как при он

вызывает подъем высоких частот. Эксперименты, проведенные с различными К, показали, что полезные результаты получаются при в режиме сглаживания [34].

Поскольку Оснг полученный фильтр (5.68) соответствует производной функции окна Именно такую цель мы ставили вначале.

Первая дробь в скобках в -реставрирующий фильтр Хелстрома. Когда этот фильтр переходит в инверсный, т. е. дробь принимает вид наоборот, когда , дробь приближается к нулю (происходит подавление шума). Эти свойства, очевидно, соответствуют ожидаемым характеристикам фильтра, минимизирующего выходную ошибку в присутствии шума.

Хотя фильтр (5.68) обладает высокой степенью гибкости и «встроенной» способностью подавления шума, у него имеются недостатки, перечисленные в разделе 5.9. Кроме того, энергетические спектры практически редко известны, а использованный МСКО-критерий (5.65а) имеет свои собственные недостатки. Следует заметить, что критерий (5.65а) обеспечивает малую ошибку лишь в среднем, т. е. по множеству реставраций, соответствующих известным энергетическим спектрам (см. выше), пользователю же требуется уверенность в качестве всего одной или двух конкретных реставраций. Сама исходная посылка, что с помощью фильтра (5.68) должно быть выполнено большое количество реставраций, часто оказывается неверной в случае улучшения изображений.

Информационный аспект оптимальной фильтрации

Рассмотрим теперь уравнение (5.68) в случае когда, согласно (5.67), обеспечивается абсолютный минимум Довольно малоизвестно, что в (5.68) прямо связано с количеством информации (по Шеннону), содержащейся в спектральных данных об изображении Фельжет и Линфут в своей классической статье [40] установили, что максимум информации по Шеннону на данной частоте составляет

Эту величину называют также пропускной способностью канала для процесса формирования изображения. Комбинируя (5.68) и (5.69), мы получаем выразительный результат:

Это соотношение непосредственно показывает, как информация ограничивает способность фильтра производить оптимальную

реставрацию линейным способом. Здесь коэффициент полной компенсации просто модулируется функцией от информации Мы видим, что полная компенсация обеспечивается оптимальным фильтром только при бесконечной информации, и наоборот, при отсутствии информации компенсация невозможна.

Покажем, что МСКО также ограничивается количеством информации. При использование оптимального фильтра в (5.67) дает минимизированную СКО

Используя снова выражение (5.69), получаем

Поскольку отсюда следует, что МСКО убывает экспоненциальное увеличением количества информации (см. [41]).