1.5. Улучшение и реставрация изображений

При реставрации изображений мы стремимся компенсировать искажения, вносимые в изображения в процессе их формирования системами отображения. К типичным причинам искажений относятся движение камеры, аберрации объектива, низкочастотный характер электрооптических систем и турбулентность атмосферы. При улучшении изображений наряду с компенсацией искажений или вместо нее мы стремимся придать изображению форму, более удобную для наблюдения человеком или для дальнейшей обработки на ЦВМ. В качестве примеров улучшения изображений укажем обострение контуров и получение цветных изображений из синтезированных составляющих.

В гл. 5, написанной Фриденом, представлен обзор методов реставрации изображений. В настоящем разделе мы приводим некоторые дополнительные соображения по следующим вопросам: итерационные методы; методы, основанные на математическом программировании; линейные пространственно-зависимые искажения; рекурсивное оценивание.

В гл. 5 обсуждаются итерационные методы Ван Циттерта — Джанссона. Здесь мы займемся другим итерационным методом — методом проекций [17], имеющим определенные преимущества. Представим монохромное изображение функцией двух переменных, причем обе независимые переменные являются пространственными координатами, а значение функции выражает

яркость изображения в данной точке. Тогда задача реставрации изображения может быть сформулирована математически следующим образом. Пусть дано искаженное изображение

где оригинал, искажающий оператор, а — шум; требуется найти хорошую оценку

Один общий подход к решению задачи реставрации изображения состоит в попытке решить (1.6) итерационными методами. При итерации приближенное решение определяется через приближенное решение при предыдущей итерации и разность В качестве хорошего начального приближения можно взять

Предположим, что оператор линейный. Тогда, пренебрегая шумом, дискретизированный вариант (1.6) можно выразить в виде

где отсчеты соответственно, а коэффициенты постоянные. Количество отсчетов функций составляет соответственно.

Для описания метода проекций удобнее использовать геометрический подход. Будем рассматривать как вектор или точку в N-мерном пространстве. Тогда каждое уравнение в (1.8) представляет гиперплоскость. Пусть начальное приближение будет Следующее приближенное решение представляет собой проекцию на гиперплоскость т. е.

где а точка обозначает обычное скалярное произведение. Затем найдем проекцию на гиперплоскость и назовем ее пока не найдем удовлетворяющую последнему уравнению в (1.8). На этом заканчивается первый цикл итераций. После этого начинаем снова с первого уравнения системы (1.8): находим проекцию на и называем ее затем

Фиг. 1.10. (см. скан) Исходное изображение.

находим проекцию на пока не дойдем до последнего уравнения в (1.8) и тем самым не завершим второй цикл итераций. Можно показать, что при продолжении процесса итераций векторная последовательность всегда сходится для любых заданных что

Можно показать, что если система уравнений (1.8) имеет единственное решение, то этим решением будет а если эта система имеет бесконечное множество решений, то будет решением, которое минимизирует

Фиг. 1.11. (см. скан) Изображение, смазанное по вертикали, с аддитивным шумом.

Следовательно, при бесконечном множестве решений мы можем надеяться на получение хорошего решения, если начнем с хорошего приближения

При применении метода проекций можно использовать различную априорную информацию об изображении. В частности, ограничение можно использовать, приравнивая любые отрицательные составляющие нулю перед нахождением следующей проекции. Если же известно, что исходное изображение ограничено определенной областью, то в (1.8) можно приравнять нулю те которые соответствуют отсчетам лежащим вне этой области.

Некоторые результаты моделирования на ЦВМ представлены на фиг. 1.10-1.12. Изображение цифры 5 дискретизировалось

Фиг. 1.12. (см. скан) Результат реставрации изображения на фиг. 1.11, полученный с использованием метода проекций (после пяти циклов итерации).

растром 64X64 точки. Каждой точке, принадлежащей цифре, придано значение 7, а каждой точке вне ее — значение 0. Это изображение было подвергнуто линейному смазыванию, и для реставрации оригинала в присутствии шума использовался метод проекций.

В изображениях, показанных на фиг. 1.10-1.12, каждая точка квантовалась на 16 уровней значениями от до 15), причем уровни от 10 до 15 обозначались буквами от А до Исходное изображение, показанное на фиг. 1.10, было смазано по вертикали на 10 точек. Затем в смазанное изображение был введен шум, так что в результате было получено зашумленное и смазанное изображение, показанное на фиг. 1.11. Шум был белым,

независимым от сигнала и имел равномерное распределение со стандартным отклонением 0,5. К этому зашумленному и смазанному изображению был применен метод проекций. Результат, полученный после пяти итераций, показан на фиг. 1.12. Мы замечаем, что даже при таком относительно низком отношении сигнал/шум метод проекций дает удивительно хороший результат. Здесь в качестве начального приближения было принято

Хотя в приведенном примере искажение было пространственно-инвариантным и одномерным, метод проекций, очевидно, можно применять для исправления любых линейных искажений (в общем случае пространственно-зависимых и двумерных). Если изображение содержит точек, а импульсная характеристика искажающего оператора — самое большее точек, то один цикл итерации требует выполнения приблизительно умножений и такого же количества сложений. Например, если изображение содержит точек, а искажающая импульсная характеристика содержит не более точек, то один цикл итерации потребует приблизительно умножений и столько же сложений. Если ЦВМ выполняет одно умножение и одно сложение за то один цикл итерации потребует около 8 с.

Другой подход к решению уравнений (1.8), когда искажены шумом и имеется ограничение (а также другие ограничения в виде равенств или неравенств), состоит в том, что задача формулируется на языке математического программирования. Например, можно пытаться искать такое которое минимизирует

при ограничениях

Но это типичная задача квадратичного программирования. Для детального ознакомления с методом читателю следует обратиться к работам Раста и Барраса [18] и Маскаренаса [19].

Метод Мак-Адама [20], упоминаемый в конце гл. 5, подобен (но не идентичен) методу математического программирования. Мак-Адам сделал попытку найти решения уравнений (1.8) с учетом ограничивающих неравенств для В общем случае здесь существует бесконечное множество решений. Мак-Адам разработал эффективный с вычислительной точки зрения

алгоритм для отыскания решения в случае линейного пространственно-инвариантного (ЛПИ) искажения.

Многие из методов, описываемых в гл. 5, равно как и рассмотренные выше методы проекций и математического программирования, а также обсуждаемый в гл. 2 метод разложения по сингулярным значениям (РСЗ) могут применяться для борьбы с линейными пространственно-зависимыми (ЛПЗ) искажениями общего вида. Однако все эти методы требуют весьма значительных вычислений. Для некоторых специфических видов ЛПЗ-ис-кажений иногда удается найти более экономичные пути решения. Интересный пример представляют искажения, вызываемые аберрациями объективов. Оказалось, что, используя полярные координаты и производя соответствующую замену переменной аберрации типа комы можно свести к линейным пространственно-инвариантным искажениям [21]. Также с использованием полярных координат астигматизм и кривизна поля могут быть сведены к линейным пространственно-инвариантным искажениям в одном направлении и к ЛПЗ-искажениям в другом направлении. Благодаря этому существенно упрощается компенсация подобных искажений [22].

Проблему реставрации изображения можно рассматривать как проблему оценивания. Поэтому здесь могут применяться методы теории оценок. В последнее время некоторые авторы [23—25] использовали рекуррентные алгоритмы оценки (реализующие фильтры Калмана — Бьюси) для уменьшения шума в изображении. При этом изображение моделировалось двумерным марковским процессом. Такой подход легко обобщить для применения при реставрации изображений, в которые внесены линейные искажения и шум. Некоторые пути обобщения марковской модели были изучены Джейном и Анжелом [26].

В гл. 5 показано, а здесь мы также хотим это подчеркнуть, что хотя большинство прежних работ по реставрации изображений, искаженных ЛПИ-системами, посвящено применению инверсных ЛПИ-фильтров, такие инверсные фильтры оказались, по-видимому, не слишком эффективным средством получения реставраций хорошего качества. ЛПЗ- и нелинейные методы в общем гораздо более эффективны (особенно когда они позволяют учитывать априорную информацию об изображении). Однако большинство известных в настоящее время ЛПЗ- и нелинейных методов требуют весьма большого времени вычислений даже для обработки изображений средних размеров. Поэтому поиск методов этого класса, эффективных как по результатам, так и по времени вычислений, представляет собой одну из главных задач, которые должны решаться исследователями, работающими в этой области.