4.3 Проектирование

Как отмечалось выше, проектирование рекурсивных фильтров требует решения двух основных проблем: проблемы аппроксимации и проблемы устойчивости. Основные теоретические сведения о методах проверки устойчивости двумерных рекурсивных фильтров представлены в предыдущем разделе. Теперь будут рассмотрены проблемы выбора коэффициентов рекурсивного фильтра и методы обеспечения его устойчивости.

Существует много способов выбора коэффициентов двумерного рекурсивного фильтра. Здесь мы рассмотрим три способа.

1. Обобщение одномерных методов.

2. Выбор коэффициентов фильтра таким образом, чтобы его импульсная характеристика аппроксимировала заданную импульсную характеристику,

3. Выбор коэффициентов фильтра с использованием методов аппроксимации таким образом, чтобы его частотная характеристика аппроксимировала заданную частотную характеристику.

4.3.1. Обобщение одномерных методов

В одномерном случае можно привести множество методов проектирования рекурсивных фильтров в частотной области [13, 14]. Большая часть работ в области одномерного синтеза в частотной области посвящена проектированию фильтров нижних частот и полосовых фильтров. Некоторые наиболее эффективные методы проектирования двумерных рекурсивных фильтров основаны на обобщении одномерных методов.

В одномерном случае в качестве расчетных параметров часто используют частоты среза, т. е. частоты точек перехода между «полосой пропускания» и «полосой задерживания». В двумерном случае имеется переходная область, разделяющая области пропускания и задерживания. Конфигурация переходной области определяется требованиями проектировщика к фильтру и числом коэффициентов, которые желательно иметь в фильтре.

Разделимые фильтры

Простейший случай представляет собой разделимый фильтр, т. е. фильтр с передаточной функцией вида

Таким образом, двумерный фильтр составляется из двух одномерных фильтров, соединенных последовательно. С разделимым фильтром связана четырехквадрантная симметрия в частотной области, которая иногда оказывается нежелательной.

Для фильтров с действительными коэффициентами характерна симметрия относительно прямой, проходящей через начало координат двумерной частотной плоскости. Ниже рассматриваются два метода проектирования разделимых фильтров с действительными коэффициентами, причем эти методы позволяют избежать четырехквадрантной (в двумерной частотной плоскости) симметрии, связанной с (4.14).

Поворот частотной характеристики одномерного фильтра

Предположим, что спроектирован фильтр нижних частот или полосовой фильтр, имеющий одно измерение. Такой фильтр можно рассматривать как двумерный фильтр, свойства которого изменяются только в одном направлении. Если воспользоваться переменными двумерного преобразования Лапласа [15], то такой фильтр можно определить как

Частотную характеристику этого фильтра можно определить, положив Очевидно, что частотная характеристика изменяется только в направлении частотной оси Предположим теперь, что требуется выполнить преобразование, или отображение -плоскости в -плоскость, такое, что полоса пропускания отобразится в подходящую область -плоскости. В частности, рассмотрим вращение осей -плоскости.

Метод преобразования. Повернуть на угол можно с помощью преобразования

Поворот также вызывает поворот осей двумерной частотной -плоскости. Рассмотрим фильтр с передаточной функцией Используя (4.16) и (4.17), можно повернуть -оси на угол чтобы они заняли новое положение Однако эта операция вызывает поворот области «пропускания» на угол относительно новых частотных осей.

В качестве примера рассмотрим фильтр с передаточной функцией вида

Амплитудно-частотная характеристика этого фильтра изменяется только по оси Выполнив преобразование согласно (4.16) и (4.17), получаем

АЧХ нового фильтра изменяется по обеим частотным осям.

Можно спроектировать двумерные полосовые фильтры, частотные характеристики которых ориентированы под определенным углом относительно -осей. Прежде всего, следует спроектировать подходящий одномерный фильтр нижних частот или полосовой фильтр, используя одномерную -область. Выразив уравнение этого фильтра через или произведем поворот его осей на требуемый угол в -плоскости с помощью (4.16) или (4.17). Результирующее выражение описывает непрерывный двумерный фильтр.

Остается спроектировать эквивалентный двумерный дискретный фильтр. Для этого можно воспользоваться билинейным

-преобразованием [14]. Таким образом, имеем

где периоды дискретизации. Применяя к уравнения билинейного преобразования, согласно (4.19), получаем

где

и

Эти выражения можно упростить, положив В (4.18) константа а выражает частоту среза (по уровню — измеряемую в радиан/единица [16]). Пусть

где частота среза, выражаемая в долях частоты Найквиста; частота Найквиста, измеряемая числом периодов, приходящихся на единицу измерения. Поскольку

Таким образом, получаем

Фиг. 4.6. Двумерная АЧХ, соответствующая передаточной функции частоты Найквиста по осям соответственно).

Примеры. Рассмотрим фильтр с где а выбрано таким, что частота среза составляет 0,15 частоты Найквиста. Таким образом, и для имеем

На фиг. 4.6 представлена контурная диаграмма АЧХ рассматриваемого фильтра, нормированной относительно максимального коэффициента передачи 1. Контурные линии построены с шагом 0,1. В пределах области пропускания, отмеченной штриховкой, значение АЧХ превышает 0,7. Поскольку не изменяется по оси По оси соответствует фильтру нижних частот. Следует обратить внимание на то, что частота среза составляет 15% частоты Найквиста; это согласуется с расчетным значением

Для получаем

На фиг. 4.7 представлена контурная диаграмма АЧХ нового фильтра. Контурные линии также построены с шагом 0,1. Как и требовалось, АЧХ повернута на угол 15° относительно оси

Фиг. 4.7. АЧХ фильтра нижних частот после поворота на угол 15°.

Однако теперь контурные линии уже не являются прямыми, причем заметна тенденция к возрастанию искажений по мере увеличения частот Этот эффект обусловлен применением билинейного -преобразования. В результате подстановки (4.20) и (4.21) в выражение (4.19) в числителе выражения для появляются множители Первый из них обеспечивает нулевое значение на всех

Фиг. 4.8. АЧХ фильтра нижних частот после поворота на угол 45°,

Фиг. 4.9. АЧХ полосового фильтра.

Фиг. 4.10. АЧХ полосового фильтра после поворота на угол 45°.

частотах, соответствующих равенству частоте Найквиста. Соответственно множитель обеспечивает нулевое значение при равенстве частоте Найквиста.

На фиг. 4.8 показана АЧХ фильтра, повернутая на 45°. Передаточная функция фильтра имеет вид

Фиг. 4.11. АЧХ полосового фильтра после поворота на угол —45°.

Можно также «повернуть» АЧХ полосового фильтра. На фиг. 4.9 показана АЧХ полосового фильтра, которая получена путем билинейного преобразования АЧХ фильтра Баттерворта восьмого порядка [17]. Фиг. 4.10 иллюстрирует АЧХ того же фильтра, повернутую на 45°, причем и в этом случае применено билинейное преобразование.

Поворот на отрицательный угол можно обеспечить, видоизменив методику фильтрации данных. Пусть входной

Фиг. 4.12. АЧХ фильтра нижних частот после поворота на угол 45°.

Фиг. фильтра, полученного путем последовательного соединения двух фильтров с АЧХ, приведенными на фиг. 4.11 и 4.12.

массив размера описывает фильтр с АЧХ, показанной на фиг. 4.10. Мы не будем выполнять фильтрацию обычным способом, как описывает выражение (4.3). Напротив, начнем фильтрацию с входной точки и продолжим ее в обратном направлении оси у. Такая процедура эквивалентна применению фильтра с передаточной функцией вида

Новый фильтр имеет АЧХ, показанную на фиг. 4.11; как видно, полоса пропускания повернута на угол —45°.

Рассмотренные «повернутые» фильтры можно использовать совместно для получения других конфигураций АЧХ. Пусть имеется фильтр с АЧХ, показанной на фиг. 4.12. Эта характеристика была получена путем поворота на угол 45° АЧХ фильтра нижних частот. Предположим, что данные фильтруются указанным фильтром и фильтром с АЧХ на фиг. 4.11. Результирующая АЧХ будет представлять собой произведение этих двух АЧХ. Последовательно соединенные фильтры имеют АЧХ, показанную на фиг. 4.13.

Сдвиг частотной характеристики двумерного фильтра нижних частот

Другой исключительно полезный метод проектирования двумерных рекурсивных фильтров состоит в использовании сдвига частотных характеристик. Если двумерный рекурсивный фильтр

Фиг. 4.14. Четырехквадрантная АЧХ двумерного полосового фильтра, полученного путем последовательного соединения двух полосовых одномерных фильтров.

является действительным (имеет действительные коэффициенты) и разделимым, то его АЧХ обладает четырехквадрантной симметрией в двумерной частотной области. Фильтры такого рода можно описать с помощью выражения (4.14). Четырехквадрантную симметрию АЧХ полосового фильтра иллюстрирует фиг. 4.14.

Предположим теперь, что одномерные передаточные функции в (4.14) имеют комплексные коэффициенты. В этом случае АЧХ одномерных фильтров с передаточными функциями Ж) и уже не будут обладать знакомой нам симметрией относительно начала координат частотной области. Последовательное соединение таких двух фильтров позволяет создать разделимый двумерный фильтр, однако АЧХ этого фильтра не будет обладать какой-то определенной симметрией в двумерной частотной области. Следует заметить, что фильтр с комплексными коэффициентами не часто оказывается полезным при обработке действительных данных. Объединяя действительные части передаточных функций двух комплексных одномерных фильтров, включенных последовательно, мы получаем

Фиг. 4.15 АЧХ неразделимого двумерного полосового фильтра.

где указывает на использование только действительных частей коэффициентов фильтров, а звездочка обозначает передаточную характеристику исходного фильтра с комплексно сопряженными коэффициентами. Фильтр, описываемый (4.26), является действительным и разделимым.

Если перемножить передаточные функции комплексных одномерных фильтров, включенных последовательно, и выделить действительную часть результата, то получим

Результирующий фильтр имеет действительные коэффициенты, не является разделимым и обладает требуемой симметрией по прямой, проходящей через начало координат двумерной частотной плоскости.

Отсюда следует, что всегда можно создать фильтр с действительными коэффициентами, АЧХ которого имеет области пропускания только в двух противолежащих квадрантах (фиг. 4.15). Ниже описан метод осуществления такого преобразования.

Метод преобразования. Здесь будет показано, каким образом сформировать фильтр с двуквадрантной АЧХ, используя два одномерных рекурсивных фильтра с передаточными функциями вида

где полиномы:

Полиномы определяются аналогично

Фиг. 4.16. Пример формирования АЧХ неразделимого полосового фильтра путем сдвига АЧХ, полученной в результате последовательного соединения двух одномерных фильтроп нижних частот частоты Найквнста по осям соответственно).

Метод формирования фильтра с двуквадрантной АЧХ предполагает наличие двух действительных одномерных фильтров нижних частот с передаточными функциями Следующий шаг — сдвиг этих двух передаточных функций вдоль осей одномерных частотных областей таким образом, чтобы они заняли требуемое положение. Полученные при этом фильтры будут иметь комплексные коэффициенты, однако их можно объединить в соответствии с (4.27) и получить полосовой фильтр с требуемой двуквадрантной АЧХ. Следует отметить, что выделение действительных частей коэффициентов означает, что результирующий фильтр в общем случае уже не является разделимым. Таким образом, если известны передаточная функция одномерного фильтра нижних частот, передаточная функция аналогичного фильтра, угол соответствующий частотному сдвигу (или повороту в -плоскости) и угол соответствующий частотному сдвигу то результирующую передаточную функцию можно сделать расщепленной (как показано на фиг. 4.16) с помощью следующих преобразований.

Фиг. 4.17. АЧХ одномерных фильтров нижних частот, которые были использованы для получения различных двумерных полосовых фильтров.

Произвести подстановку

соответственно. Это дает комплексные коэффициенты и вызывает сдвиг соответствующих им одномерных частотных характеристик в двух частотных областях. Обозначая передаточные функции преобразованных фильтров получаем

Передаточная функция результирующего фильтра имеет разделимый знаменатель с четными степенями Если исходные

Фиг. 4.18. Двумерная АЧХ, полученная путем сдвига результата перемножения в точку (19, 46).

фильтры с передаточными функциями являются устойчивыми, то знаменатель подобного рода гарантирует устойчивость результирующего фильтра, поскольку нули полиномов В получены путем поворота нулей полиномов В.

Примеры. Уравнение (4.29) легко реализуется с помощью ЦВМ. В качестве примера применения описанного метода преобразования рассмотрим три эллиптических фильтра третьего порядка с пульсацией 0,1 в полосах пропускания и задерживания. Ширина переходной полосы каждого фильтра составляет 10 Гц при частоте Найквиста 100 Гц. Фильтры с передаточными

Фиг. 4.19. Двумерная АЧХ, полученная путем сдвига результата перемножения в точку (46, 19).

Фиг. 4.20. Двумерная АЧХ, полученная путем сдвига результата перемножения в точку (50, 50).

функциями имеют полосы пропускания от до 20, 30 и 40 Гц соответственно. АЧХ этих трех фильтров показаны на фиг. 4.17.

Результирующие двумерные АЧХ, полученные методом частотного сдвига, показаны на фиг. 4.18-4.20.

Как можно видеть на фиг. 4.18-4.20, описанный метод особенно полезен в случае формирования двумерных рекурсивных фильтров с полосами пропускания или задерживания прямоугольной конфигурации, размещенными в различных областях двумерной частотной плоскости. Кроме того, (4.29) с очевидностью показывает, что коэффициенты знаменателя образуют разделимый полином, а это означает уменьшение числа вычислительных этапов при нахождении значения каждой выходной точки. Из уравнения (4.29) следует, что АЧХ в каждом отдельном квадранте не является совершенно независимой от АЧХ в других квадрантах. АЧХ вне полосы пропускания в квадранте 1 (связанная с первым членом левой части уравнения) влияет на полосу пропускания в симметрично расположенной части квадранта 3. Однако это влияние обычно незначительно, если значения АЧХ фильтра пренебрежимо малы вне областей пропускания. Следует отметить, что значения АЧХ в каждом из квадрантов суммируются, что следует из (4.29). Если области пропускания сдвинутых АЧХ случайно наложатся, то вместо единичного уровня в результирующей области пропускания будет получен удвоенный уровень.