1.4. Двумерные цифровые фильтры

Двумерные (линейные пространственно-инвариантные) цифровые фильтры применяются во многих областях обработки изображений, таких, как улучшение изображений, реставрация изображений, подвергнутых линейным искажениям, обнаружение образов с помощью согласованной фильтрации и выделение контуров. В гл. 3 (написанной Фиасконаро) и гл. 4 (написанной Ридом и др.) даются обзоры методов проектирования двумерных нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров.

Хотя методы проектирования одномерных цифровых фильтров разработаны относительно хорошо [11, 12], их обобщение

на два измерения сопряжено с трудностями. В случае нерекурсивных фильтров неприятности связаны просто с количеством измерений. В случае же рекурсивных фильтров возникает дополнительная трудность; полином от двух переменных в общем случае не может быть разложен в произведение двух сомножителей первого порядка. Поэтому проверка устойчивости в двух измерениях становится чрезвычайно сложной. Кроме того, это означает, что двумерный рекурсивный фильтр общего вида не может быть реализован в виде комбинации фильтров низкого порядка, что позволило бы ослабить эффекты квантования и шум округления. Справедливости ради следует, пожалуй, указать, что в настоящее время не существует хороших универсальных методов проектирования двумерных рекурсивных фильтров. Заметим, что применение рекурсивных фильтров оправдывается тем, что потенциально они требуют меньшего времени вычисления, чем нерекурсивные фильтры. Поэтому трудности, связанные с проектированием рекурсивного фильтра, стоит преодолевать только при условии, что эта потенциальная возможность может быть реализована.

В течение последних лет исследования в области двумерных цифровых фильтров сильно активизировались. Большая часть этих исследований была посвящена рекурсивным фильтрам. Поэтому в отличие от гл. 3, охватывающей почти все известные методы проектирования двумерных нерекурсивных фильтров, в гл. 4 не вошли некоторые из самых последних работ в области проектирования рекурсивных фильтров. В этой связи мы хотим обратить внимание читателей на работы Мариа и Фахми [13] и Сид-Ахмеда и Жюльена [14].

Эти авторы исходят из положения, что для обеспечения свободной манипуляции эффектами квантования и ошибками округления рекурсивные фильтры необходимо синтезировать в виде комбинации звеньев низкого порядка. Поэтому они используют каскады звеньев второго порядка и определяют коэффициенты фильтров методами математической оптимизации. Для экономии времени вычислений были использованы методы минимизации без учета ограничений. В работе Мариа и Фахми проверка устойчивости производилась после каждой итерации, и если фильтр оказывался неустойчивым, то для обеспечения устойчивости величина шага уменьшалась. В работе Сид-Ахмеда и Жюльена устойчивость обеспечивалась путем соответствующего изменения переменных. Поскольку рациональная функция двух переменных в общем случае не может быть выражена в виде произведения сомножителей второго порядка, такой подход позволяет спроектировать лишь субоптимальные фильтры. Однако такие фильтры могут оказаться достаточно хорошими для практического применения,

Фиг. 1.4. Изображение, смазанное по горизонтали, с аддитивным шумом.

Прежде чем закончить обсуждение двумерных цифровых фильтров, нам хотелось бы особо отметить два взаимосвязанных и часто остающихся незамеченными обстоятельства.

1. Фаза преобразования Фурье обычно более важна, чем его амплитуда. Действительно, производя обратное преобразование Фурье спектра амплитуд (считая при этом фазы нулевыми), мы получаем пятно, не имеющее сходства с оригиналом. В то же время, производя обратное преобразование спектра фаз (считая спектр амплитуд постоянным), мы можем получить некоторое подобие исходного изображения.

2. Во многих приложениях к обработке изображений (таких, как согласованная фильтрация и реставрация изображений, искаженных в результате линейного перемещения с переменной скоростью) требуются фильтры с нелинейной фазочастотной характеристикой.

Из второго обстоятельства следует, что требуется проводить больше исследований, направленных на разработку методов проектирования, позволяющих определять как амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), так и фазочастотные характеристики (ФЧХ). В частности, представляется полезным изучить возможности развития методов проектирования как одномерных, так и двумерных нерекурсивных фильтров с помощью линейного программирования, чтобы они позволяли учитывать требования к ФЧХ.

Из первого обстоятельства следует, что даже в случае проектирования рекурсивных фильтров для обработки изображений с частотной характеристикой, имеющей линейную ФЧХ, ее необходимо все-таки включать в требования и не считать, что если установлены требования к АЧХ, то можно надеяться на получение почти линейной ФЧХ, хотя именно таким образом обычно

Фиг. 1.5. Амплитудно-частотная характеристика среднеквадратичного инверсного фильтра.

поступают при проектировании одномерных рекурсивных фильтров. Когда имеется возможность обращения ко всему фильтруемому изображению, можно добиться получения действительно нулевой ФЧХ путем двукратного применения одного и того же рекурсивного фильтра, но начиная обработку с противоположных углов изображения. Однако такое решение оказывается неприемлемым, если фильтрацию требуется выполнить в реальном масштабе времени.

Чтобы проиллюстрировать значение первого из указанных выше обстоятельств, рассмотрим следующий простой пример. Изображение буквы дискретизировалось растром 128X128 точек. Каждой точке внутри буквы придавалось значение 5, а каждой точке вне ее — значение 0. Это изображение подвергали линейному смазыванию в горизонтальном направлении с использованием гауссовой весовой функции со стандартным отклонением 3 точки. Затем в изображении был введен белый гауссов шум со стандартным отклонением 0,25, так что в результате

Фиг. 1.6. Импульсная характеристика среднеквадратичного инверсного фильтра.

получилось смазанное и зашумленное изображение, показанное на фиг. 1.4.

Среднеквадратичный инверсный фильтр [15] для линейного гауссова смазывания был рассчитан с использованием представления спектра сигнала нарастающим косинусом. АЧХ этого инверсного фильтра показана на фиг. 1.5. ФЧХ имеет нулевое значение. Импульсная характеристика показана (с задержкой) на фиг. 1.6.

Для реставрации изображения с помощью рекурсивной фильтрации был спроектирован рекурсивный фильтр четвертого порядка (с 4 полюсами и 4 нулями), АЧХ которого аппроксимирует характеристику инверсного фильтра (фиг. 1.5). При этом был использован метод, аналогичный методу Дечки [16]. АЧХ рекурсивного фильтра, показанная на фиг. 1.7, почти тождественна соответствующей характеристике идеального инверсного фильтра (фиг. 1.5). Однако импульсная характеристика рекурсивного фильтра (фиг. 1.8) заметно отличается от импульсной

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 1.9. Результат реставрации изображения на фиг. 1.4, выполненной с использованием спроектированного рекурсивного фильтра.

характеристики идеального инверсного фильтра (фиг. 1.6). Поэтому при реставрации с помощью такого рекурсивного фильтра изображения, показанного на фиг. 1.4, получается изображение с паразитными узорами (фиг. 1.9).