3.2. Алгоритмы

3.2.1. Функции окна

Как отмечалось в п. 3.1.2, многие типы идеальных двумерных фильтров обладают импульсной характеристикой бесконечной протяженности. Это означает, что такие фильтры невозможно реализовать, строго придерживаясь нерекурсивных методов. Один из способов получения нерекурсивной аппроксимации требуемой частотной характеристики состоит в усечении импульсной характеристики, чтобы последняя имела желательную протяженность. Такую процедуру можно рассматривать как операцию умножения импульсной характеристики на функцию окна, имеющую единичное значение в пределах некоторой ограниченной области и нулевое значение вне этой области. Вообще говоря, более качественная аппроксимация достигается в том случае, когда функция окна принимает не только единичное значение в пределах ненулевой области.

Проблему отыскания «хороших» двумерных функций окна изучал Хуанг [21], который доказал следующее положение. Если симметричное одномерное окно непрерывная переменная) и двумерное окно связаны соотношением

то их преобразования Фурье удовлетворяют условию

где

а знак обозначает операцию свертки.

Поскольку полученный результат относится к функциям непрерывной переменной, а не к двум дискретным переменным, его нельзя применить к проектированию двумерных цифровых фильтров, не делая никаких оговорок. Во-первых, следует рассмотреть особенности формирования непрерывной двумерной функции окна из непрерывной одномерной функции окна, согласно выражению Очевидно, что это выражение соответствует вращению одномерной функции окна в -плоскости относительно начала координат. Однако это не приводит к простому вращению частотной характеристики, соответствующей рассматриваемому одномерному окну, в -плоско-сти относительно начала координат. Двумерная частотная характеристика, обладающая круговой симметрией, определяется выражением

где функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Такое особое преобразование Фурье для функций с круговой симметрией называется преобразованием Ганкеля [22]. В качестве примера рассмотрим одномерное прямоугольное окно

частотная характеристика которого имеет вид

Вращение прямоугольного окна в -плоскости относительно начала координат дает функцию

частотная характеристика которой имеет вид

Эта характеристика подобна частотной характеристике, получаемой путем вращения одномерной частотной характеристики в -плоскости относительно начала координат, но, конечно, не совпадает с ней.

Во-вторых, следует рассмотреть эффект дискретизации двумерной функции окна. Дискретизацию можно рассматривать как операцию умножения окна на массив импульсов, что эквивалентно операции свертки частотной характеристики окна с другим массивом импульсов. Поскольку частотная характеристика функции окна не может размещаться в строго ограниченной полосе частот, неизбежно возникают ложные частоты. Этот эффект вынуждает дискретизировать функцию окна с относительно высокой плотностью отсчетов. Таким образом, рассматриваемый метод непригоден для формирования дискретных функций окна с малым числом отсчетов.

Остается рассмотреть то обстоятельство, что частотная характеристика свертывается не со ступенчатой функцией определенной выше, а с фактической частотной характеристикой идеального фильтра. Частотная характеристика «хорошей» функции окна аппроксимирует импульс, т. е. она имеет узкий центральный лепесток и боковые лепестки, уровень которых существенно ниже уровня центрального лепестка. Рассмотрим следующий пример. Требуется применить описанный метод для проектирования фильтра нижних частот с идеальной частотной характеристикой вида

В этом случае ширина центрального лепестка частотной характеристики функции окна должна быть много меньше Если это условие соблюдается, то циклическая свертка частотной характеристики функции окна с даст приблизительно тот же результат, что и линейная свертка, согласно соотношению, полученному Хуангом. С такими оговорками справедливо следующее: если хорошая одномерная функция окна, то есть хорошая двумерная функция окна с круговой симметрией.

Рассмотренный метод можно применять для проектирования фильтров в том случае, если известны импульсные характеристики идеального фильтра и функции окна. Однако в большинстве случаев идеальные фильтры задаются их частотными, а не

импульсными характеристиками. Поэтому импульсную характеристику нужно определить с помощью выражения

где идеальная частотная характеристика. Импульсные характеристики идеальных фильтров нескольких типов (фильтра нижних частот, полосового фильтра, фильтра верхних частот и дифференциатора) приведены в п. 3.1.2.

Простейшим двумерным окном является прямоугольное окно с импульсной характеристикой вида

Эта функция окна имеет частотную характеристику

Сходство с одномерным случаем очевидно. Как и одномерное прямоугольное окно, данное окно не является очень хорошим. Лучшие двумерные окна можно получить на базе известных одномерных непрерывных функций окна. Одним из простейших таких одномерных окон является окно Хэмминга вида

Окна Кайзера [3] относятся к более сложным функциям окна, задаваемым выражением

где модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а — константа. Изменяя произведение можно управлять шириной центрального лепестка частотной характеристики и уровнем боковых лепестков (относительно уровня центрального лепестка).

Легко показать, что перемножение импульсной характеристики идеального фильтра и функции окна соответствует операции циклической свертки их частотных характеристик. Пусть

и импульсные характеристики окна и идеального фильтра соответственно. Тогда импульсная характеристика нерекурсивного фильтра определяется как

При этом частотная характеристика нерекурсивного фильтра имеет вид

где выражение в квадратных скобках заменяет Перестановка операций суммирования и интегрирования и объединение двух экспоненциальных членов дает желаемый результат:

Известно, что метод функций окна не позволяет проектировать оптимальные фильтры. Более того, этот метод имеет и другие недостатки. Прежде всего бывает трудно, а иногда и просто невозможно найти импульсную характеристику идеального фильтра в замкнутой форме, используя (3.11). Идеальные фильтры, частотные характеристики которых представлены в п. 3.1.2, легко описать аналитически. В некоторой области, которую можно без труда определить, частотная характеристика принимает ненулевое значение; в пределах этой области частотная характеристика легко поддается описанию. Очень легко определить идеальные фильтры, для которых интегрирование в (3.11) чрезвычайно затруднительно. С другой стороны, поскольку большинство двумерных функций окна получают из одномерных функций окна, искомую импульсную характеристику обычно удается без труда выразить в замкнутой форме.

Однако трудности не всегда остаются позади, даже если удается выразить импульсную характеристику в замкнутой форме. Приведенные здесь примеры свидетельствуют о том, что получение отсчетов функции окна может оказаться связанным с вычислением сложных функций, таких, как функции Бесселя и модифицированные функции Бесселя. Конечно, такие вычисления не являются невыполнимыми, однако в случае окон большой протяженности они занимают много времени.

Вторая проблема метода функций окна заключается в том, что на расположение границ полосы пропускания результирующего фильтра весьма трудно влиять. Как уже упоминалось,

частотная характеристика нерекурсивного фильтра получается в результате (циклической) свертки частотной характеристики идеального фильтра с частотной характеристикой функции окна. Идеальные фильтры обычно обладают очень крутыми склонами частотной характеристики, однако операция свертки превращает эти склоны в переходные полосы. Таким образом, выбор границ полосы пропускания идеального фильтра следует производить с учетом такого «сглаживания». Кроме того, сглаживающий эффект свертки существенно затрудняет проектирование указанным способом узкополосных или широкополосных нерекурсивных фильтров.

Существует еще одна проблема, упомянутая выше. Дело в том, что фактическая частотная характеристика дискретной функции окна представляет собой модифицированную частотную характеристику соответствующей непрерывной двумерной функции окна, в которой присутствуют ложные частоты. Учет этого обстоятельства обычно сводится к использованию функций окна большей протяженности.

Рабинер [23] применил описанный метод для проектирования нерекурсивных фильтров. Он использовал фильтр нижних частот с круговой симметрией в качестве идеального фильтра и две функции окна: окно с круговой симметрией и резкой границей («нуль — единица») и окно Кайзера. Как и ожидалось, частотная характеристика фильтра, спроектированного с использованием окна Кайзера, имела существенно меньшие пульсации, чем частотная характеристика другого нерекурсивного фильтра.