6.2. Влияние шума на квантование

Следует различать и правильно использовать три разные меры отношения сигнал/шум. Для них мы введем следующие обозначения:

отношение полного размаха сигнала (т.е. размаха сигнала от уровня черного до уровня белого) к среднеквадратичному значению шума;

отношение фактического (неполного) размаха сигнала к среднеквадратичному значению шума;

отношение шага квантования к среднеквадратичному значению шума.

Здесь «сигнал» — это мера интенсивности света, отсчитываемая от нуля, соответствующего черному, или (в случае использования сканера) прозрачности фотопленки, отсчитываемая от нуля, соответствующего непрозрачности. Таким образом, речь идет об одностороннем сигнале с опорным уровнем - черного. В общем случае система должна допускать обработку сигнала

любого уровня в пределах фиксированного и заранее определенного диапазона (например, диапазона при измерении прозрачности фотопленки). Поэтому не разрешается произвольно изменять усиление и вводить смещение уровня при использовании сигналов, занимающих лишь часть амплитудного диапазона. Динамический диапазон сигналов, подлежащих квантованию, фиксирован и ограничен.

6.2.1. Квантование сигнала с шумом

Если говорить кратко, назначение квантователя состоит в преобразовании амплитудных изменений сигнала в дискретную совокупность уровней. В системе без шума обозначение любого данного уровня сигнала с помощью соответствующего двоичного числа не связано с какой-либо неопределенностью. Однако при наличии шума (принимается случайный характер шума) квантуется смесь сигнала с шумом. В этом случае опознавание двоичного числа определяет соответствующий уровень собственно сигнала с некоторой неопределенностью, Выражаясь более конкретно, существует конечная вероятность (определяемая

Фиг. 6.2. Поражение шумом «чистого» сигнала приводит к появлению вероятности присвоения неправильного уровня квантования в процессе аналого-цифрового преобразования,

Фиг. 6.3. Дан сигнал, все значения которого равновероятны в пределах диапазона квантования. Дан гауссов шум со среднеквадратичным значением а. Кривые показывают вероятность правильного присвоения двоичного числа, соответствующего незашумленному сигналу, с ошибкой в пределах цифрового интервала (включительно) в зависимости от отношения .

относительными площадями под кривой распределения вероятностей в пределах границ шагов квантования) приписывания неправильного ДЧ данному измеренному уровню. Это иллюстрирует фиг. 6.2. Количественную оценку влияния шума на квантование дал Фридман [27]. Построенная им кривая представлена на фиг. 6.3 как кривая ±0. Эта кривая получена при допущении, что уровень сигнала может принимать с равной вероятностью любое значение в пределах диапазона квантования и что добавляемый шум является гауссовым со среднеквадратичным отклонением Распределение вероятностей смеси сигнала с шумом было получено путем свертки распределения вероятностей сигнала с распределением вероятностей шума. После этого была найдена вероятность правильного квантования как результат интегрирования полученного распределения вероятностей в соответствующих пределах, представляющих границы шага квантования.

В этой связи возникает интересное предположение, касающееся полезности повторного выделения отсчетов. Рассмотрим сначала ситуацию, когда шум отсутствует. В этом случае уровень сигнала имеет строго одинаковые значения в любом из моментов выделения отсчета. Такому сигналу всегда будет приписываться одно и то же ДЧ, что исключает возможность определения точного значения сигнала путем опознавания этого ДЧ,

Фиг. 6.4. Дан сигнал, все значения которого равновероятны в пределах диапазона квантования. Дан гауссов шум со среднеквадратичным значением а. Кривые показывают вероятность присвоения данного двоичного числа правильному уровню уровню выше правильного уровню ниже правильного в зависимости от отношения квантования).

Можно только сказать, что точный уровень сигнала расположен в пределах амплитудного интервала, соответствующего указанному шагу квантования. Однако при наличии шума (даже слабого) появляется конечная вероятность того, что мгновенное значение смеси сигнала с шумом будет несколько, а возможно, и существенно отличаться от мгновенного значения собственно сигнала. Поэтому появляется конечная вероятность того, что новое ДЧ будет отличаться от ДЧ, приписанного «чистому» сигналу. Следовательно, если выделить большое число отсчетов и усреднить полученные ДЧ, то дробная часть усредненного ДЧ укажет на положение истинного уровня сигнала в пределах амплитудного интервала этого Не является ли это указанием на то, что, возможно, лучше пользоваться зашумленным сигналом, чем сигналом без шума?

Фульц [28] сделал еще один шаг вперед. Он расширил рамки анализа, определив вероятность присвоения данного ДЧ уровню, отличающемуся на от правильного уровня. Такая вероятность дается выражением

где отношение шага квантования уровень квантования, отсчитываемый относительно правильного уровня.

При вероятность (6.1) становится вероятностью правильного присвоения Кривые вероятности для различных от до 9, построенные для удобства в функции представлены на фиг. 6.3.

Вероятность присвоения конкретному уровню данного ДЧ можно определить, последовательно вычитая из значений кривой для этого уровня на фиг. 6.3 значения кривой, соответствующей ближайшему меньшему уровню. Кривые, полученные в результате вычитаний, показаны на фиг. 6.4.

6.2.2. Обнаружимость двух участков различной яркости

Оценим обнаружимость аналитическими средствами двух участков различной яркости или различной прозрачности (для фотопленки). Сначала рассмотрим непрерывный случай без квантования, характеризуемый выполнением аналоговых измерений. Затем рассмотрим случай, когда выделяются и сравниваются квантованные отсчеты.

В случае когда проводятся аналоговые измерения, примем, что среднее различие в прозрачности составляет и на каждый уровень наложен гауссов шум со среднеквадратичным значением Эквивалентная ситуация возникает при измерении прозрачности двух «однородных», но слегка зашумленных участков. Считывая показания измерителя прозрачности, пытаются

Фиг. 6.5. Даны два участка фотопленки, средние прозрачности которых различаются на На каждом участке имеется гауссов шум со среднеквадратичным значением Кривые показывают вероятность обнаружения различия между ними (разрешения), неразрешения и ложного разрешения в зависимости от отношения

Фиг. 6.6. Даны два сигнала, пораженные гауссовым шумом со среднеквадратичным значением а. Каждый из них квантуется с одинаковым числом разрядов. Кривые показывают вероятность правильного обнаружения истинной разности двух уровней с ошибкой в пределах цифрового интервала (включительно) в зависимости от отношения квантования).

определить, различаются (разрешаются) участки или нет. Можно ввести следующие определения: два участка «разрешаются», если «не разрешаются», если и «ложно разрешаются» (т.е. опознаются как различные, хотя в действительности различие между ними отсутствует), если Вероятности для всех трех случаев определяются выражениями

где

Эти вероятности представлены на фиг. 6.5 в виде кривых, построенных в функции Следует отметить, что кривые соответствуют непрерывному случаю и не учитывают эффект квантования.

В эквивалентном случае с квантованием, когда каждый уровень с наложенным шумом квантуется независимо, следует пользоваться кривыми распределения вероятностей на фиг. 6.4. На фиг. 6.6 представлена вероятность правильного обнаружения

разности средних прозрачностей или яркостей двух уровней с ошибкой в пределах цифрового интервала от ±0 до ±4

Подготовленный математический аппарат позволяет приступить к анализу цифровых характеристик системы с шумом.

Анализ проводится на основе -разрядной системы, причем используется несколько различных определений понятия -разрядная система».

6.2.3. Установление меры качества работы

Следует начать с определения формулировки «квантование с полезными разрядами». Эта формулировка означает, что в результате действия шума вероятность правильного формирования разряда составляет 0,5. Кривая ±0 на фиг. 6.3 показывает, что для разряда требуется иметь отношение шага квантования к среднеквадратичному значению шума); при этом для разряда получаем

Таким образом, в -разрядной системе значение 9-го разряда должно составлять или

При таком отношении вероятность правильного формирования 8-го разряда (для которого составит В целом все результаты измерений не будут отличаться от правильных более чем на ±2 девятиразрядных с вероятностью отличие не превысит девятиразрядное Вероятность правильного измерения разности уровней двух участков равна

Если пользоваться тем критерием, что два уровня, яркости которых различаются на должны разрешаться с вероятностью 50%, то потребуется иметь ; это соответствует отношению

Качество работы системы можно также оценивать по уровню шума, вводимого квантователями. Мощность шума, вносимого процессом квантования, определится как [29]

Будем называть систему уравновешенной, если уровень шума квантования равен среднеквадратичной сумме всех шумовых сигналов любого происхождения, генерируемых в системе до квантования. Таким образом, имеем

или

что дает

В результате рассмотрения всех трех критериев получены требуемые значения до квантования, равные 2,8, 2,4 и 3,5. Мы будем пользоваться общим эмпирическим правилом, согласно которому на входе квантователя должно обеспечиваться среднеквадратичное значение шума квантования), что соответствует Это значение достаточно хорошо согласуется со значениями, полученными для всех трех критериев.

6.2.4. Шум системы

Рассмотрим требования к шуму в случае квантования фотографического изображения. Требуемое отношение черно-белого сигнала к среднеквадратичному значению шума можно определить следующим образом:

где для -разрядной системы,

Плотность и прозрачность на первом уровне после уровня составляют

число уровней квантования,

где плотность фотопленки на первом уровне после Поэтому

в определяется выражением

Поскольку получаем

В -разрядной системе Следовательно,

6.2.5. Шум зернистости фотопленки

Изображение на обычной галогеносеребряной фотопленке формируется в результате группирования большого числа непрозрачных зерен серебра. Макроскопическим эффектом является образование некоторой средней плотности, определяемой

Фиг. 6.7. Зернистость фотопленки, измеряемая по записи показаний микроденситометра, обычно выражается через среднеквадратичное значение статистической флуктуации плотности (То при диаметре сканирующего отверстия и плотности .

локальной экспозицией. Однако при последовательном уменьшении диафрагмы с целью достижения все большей и большей разрешающей способности становятся заметными зерна серебра (имеющие вид черных пятен неправильной формы на прозрачном фоне). Это и есть зернистость фотопленки, которая обычно выражается через среднеквадратичное значение статистической флуктуации плотности измеренной с помощью отверстия диаметром при плотности (фиг. 6.7).

Как показывает исследование вероятности наложения отдельных серебряных зерен, шум от при произвольной прозрачности можно определить по известному значению шума при прозрачности по формуле [30]

Согласно этой формуле, максимальное значение от достигается при Это значение шума представляет наихудший случай. Наибольшее значение шума в наихудшем случае выбирается таким, чтобы обеспечивалось (как и выше). Следовательно, имеем

При 8-разрядном квантовании в диапазоне прозрачностей получаем

«Стандартные условия», при которых оценивается зернистость, приблизительно соответствуют Эта замена дает

Это значение шума в наихудшем случае допустимое при Это значение необходимо преобразовать в сто (т.е. в измеренное в единицах плотности), поскольку в стандартных технических условиях указывается сто. Для плотностей, намного превышающих плотность вуали [30], имеем

где сто — среднеквадратичное значение зернистости в единицах плотности,

Это наибольшее допустимое значение при (измеренное при том же диаметре отверстия, который используется при измерении разрешающей способности).

Было установлено [30], однако, что в практически встречающихся случаях, когда шум имеет равномерный спектр во всем диапазоне полезных пространственных частот, можно записать

(диаметр отверстия много больше 10 диаметров зерна), где А — площадь отверстия. Пересчет на различные диаметры выполняется согласно соотношению

где диаметр сканирующего отверстия в микрометрах. Поэтому

Таким образом, при данном критерии получаем допустимую зернистость

где — среднеквадратичное значение зернистости по плотности при и диаметре отверстия обеспечивающее в случае -разрядного квантования.

Фиг. 6.8. Изменение обусловленное зернистостью, в зависимости от прозрачности фотопленки.

Фирма «Кодак» использует значение допустимой зернистости, в 1000 раз превышающее значение зернистости (6.9), получаемое при Так, при использовании типичного сканирующего отверстия диаметром допустимая зернистость сто Внимательное изучение параметров фотопленок (табл. 6.1) показывает, что зернистость обычной

Таблица 6.1 (см. скан)

пленки намного превышает указанное значение. Следовательно, ограничивающим фактором в системе является качество фотопленки. Поэтому желательно, когда это возможно, производить прямую регистрацию светового изображения с помощью телевизионной камеры (при условии, что камера обладает достаточно высокими параметрами), а не использовать фотопленку в качестве промежуточной среды.

Определим зависимость от Имеем

Наименьшее значение (соответствующее наихудшему случаю) получается при Обозначая это значение получаем

Соответствующая кривая показана на фиг. 6.8.