3.2.2. Частотная дискретизация

Нерекурсивный цифровой фильтр полностью характеризуется либо его импульсной характеристикой, либо эквивалентным числом равномерно расположенных отсчетов его частотной характеристики. Такие отсчеты определяют с помощью дискретного преобразования Фурье. В основе частотной дискретизации как методе проектирования нерекурсивных фильтров лежит следующий факт: (непрерывную) частотную характеристику нерекурсивного фильтра можно записать в виде линейной функции указанных частотных отсчетов. Следовательно, можно оптимизировать частотную характеристику в том или ином отношении, применив один из методов линейной оптимизации, например линейное программирование. Обратное ДПФ позволяет затем рассчитать импульсную характеристику фильтра. Как правило, в качестве переменных выбирают лишь небольшое число частотных отсчетов; остальным отсчетам придаются значения, которые имеет идеальный фильтр на соответствующих частотах. Об этом ограничении будет сказано подробнее несколько ниже.

Для того чтобы показать, каким образом частотная характеристика нерекурсивного фильтра записывается в виде линейной функции ее частотных отсчетов, полезно ознакомиться с вариантом ДПФ, несколько отличающимся от варианта, приведенного в п. 3.1.1. Предположим, что импульсная характеристика фильтра принимает нулевое значение вне области При этом -преобразование импульсной характеристики определяется выражением

ДПФ, соответствующее равномерно расположенным отсчетам -преобразования, определяется как

где Легко проверить, что в этом случае обратное ДПФ определяется выражением

Выражения (3.13) и (3.12) в совокупности дают следующий результат:

Частотная характеристика фильтра, полученного при условии имеет вид

Чтобы преобразовать (3.14) к виду, пригодному для применения линейного программирования, необходимо ввести два

ограничения, а именно следует считать, что импульсная и частотные характеристики являются чисто действительными. При введении этих двух ограничений отсчеты ДПФ удовлетворяют условию

Используя это соотношение между частотными отсчетами, можно записать (3.14) в виде

где

На первый взгляд (3.15) не имеет преимуществ по сравнению с (3.14). Однако важно отметить, что теперь все коэффициенты частотных отсчетов являются действительными, и это позволяет применить линейное программирование.

Число независимых частотных отсчетов можно уменьшить, если на частотную характеристику фильтра наложить ограничения по симметрии. В частности, если искомая частотная характеристика обладает круговой симметрией, на частотные отсчеты может быть наложено следующее ограничение:

и

Этот случай иллюстрирует фиг. 3.3, где показан массив 9X9 частотных отсчетов. При использовании метода частотной дискретизации число изменяемых частотных отсчетов обычно ограничивают в еще большей степени, приписывая большинству отсчетов постоянное значение. Если речь идет о фильтре нижних частот, то отсчеты в пределах полосы пропускания устанавливают

Фиг. 3.3. Ограничения по симметрии в частотной области; X — независимые частотные отсчеты; О — частотные отсчеты, обусловленные ограничениями по симметрии.

равными единице, а отсчеты в полосе задерживания выбирают равными нулю; только в переходной полосе используются изменяемые отсчеты. На фиг. 3.4 в качестве примера представлена частотная характеристика фильтра нижних частот размерности 9X9. Если в переходной полосе имеется частотных отсчетов, то (3.15) можно переписать в виде

где учитывает вклад частотных отсчетов с фиксированным значением, обозначает отсчеты переходной полосы; сумма учитывает вклад отсчетов переходной полосы в формировании частотной характеристики. В общем случае частотные характеристики, вычисленные указанным методом, не являются наилучшими аппроксимациями искомой частотной характеристики, поскольку могут меняться только частотные отсчеты переходной полосы.

Выбор оптимальных значений частотных отсчетов в переходной полосе и минимизация пульсаций в полосах пропускания и задерживания могут быть осуществлены с помощью линейного

программирования. Для этого требуется, чтобы равенства ограничений имели вид

где определяется согласно (3.16), -искомая частотная характеристика. Для каждой точки с ограничениями, находящейся в полосе пропускания или полосе задерживания, следует записать два ограничения в виде равенства. Для точек в переходной полосе ограничения в виде равенства не записываются. Точки с ограничениями в частотной плоскости должны располагаться настолько плотно, чтобы в этих точках обеспечивалось хорошее приближение результирующей непрерывной частотной характеристики к искомой частотной характеристике. Однако плотность множества таких точек не должна быть излишне высокой, иначе вычислительные трудности могут сделать задачу нерешаемой. Ху [24, 25] установил, что если массив частотных отсчетов имеет размерность МХМ, то достаточно иметь точек с ограничениями. Ограничения по симметрии, о которых говорилось выше, позволяют пользоваться только одной восьмой указанного числа точек с ограничениями.

После определения оптимальных значений частотных отсчетов в переходной полосе можно вычислить импульсную характеристику фильтра, используя обратное ДПФ, согласно (3.13).

Ху [25] использовал описанный метод для проектирования разнообразных фильтров нижних частот с круговой симметрией.

Фиг. 3.4. Размещение частотных отсчетов в случае фильтра нижних частот; X — изменяемые частотные отсчеты, частотные отсчеты, принимаемые за единицу; О — частотные отсчеты, принимаемые за нуль; О — частотные отсчеты, обусловленные ограничениями по симметрии.

Каждый такой фильтр имел массив частотных отсчетов размерности 25X25, однако принятое ограничение по симметрии позволило считать потенциально независимыми переменными только 91 отсчет. Большинству из этих 91 отсчета было придано значение единица или нуль; число переменных частотных отсчетов в переходной полосе изменялось от 2 до 16. Ширина переходной полосы изменялась в пределах от до , а граница полосы пропускания изменялась от нуля до Пульсации в полосе задерживания минимизировались без наложения ограничений на пульсации в полосе пропускания. Затухание в полосе задерживания изменялось от (узкие переходные полосы) до приблизительно (широкие переходные полосы). Число точек с ограничениями изменялось приблизительно от 1500 до 5000 и зависело от положения и ширины переходной полосы. Вычисления занимали от 20 до 30 мин. Работа была выполнена на с использованием комплекса линейного программирования, имеющего название «Подпрограмма фирмы для научных задач» [26].