5.11.2. Метод оптимизации Бакуса — Гильберта

При критерий (5.67) позволяет выполнять однопараметрическую оптимизацию, причем параметром служит МСКО. Однако это не единственный полезный параметр. Укажем для примера один возможный недостаток критерия (5.67): получаемый фильтр может слишком сильно ослабить входы из-за относительно больших значений входной функции Вследствие этого выход может оказаться смазанным настолько сильно, что не удовлетворит требованиям пользователя. Хотя эту трудность можно преодолеть, делая произвольный параметр X отрицательным (как было указано выше), однако возможен и другой путь.

Бакус и Гильберт [42] предложили минимизировать (в некотором рациональном смысле) в отдельности". 1) выходной шум и 2) выходное отклонение реставрации сигнала от истинного объекта. В качестве меры первой величины пользователь может применить, например, среднеквадратичное значение полного выходного шума, которое, согласно (5.306), составляет

Обычной мерой второй величины является среднеквадратичное отклонение выхода фильтра в соответствии с (5.306) от

требуемой оценки (с учетом функции окна)

Немного ниже мы воспользуемся этими специальными мерами.

Другая возможная мера второй величины, которую фактически использовали Бакус и Гильберт, имеет вид

Заметим, что чем меньше (5.74), тем ближе к дельта-функции В работе [42] показано, что уравнение комбинированного критерия

может быть решено относительно противосверточной функции при различных сочетаниях входов и Эти решения выражаются в виде кривых взаимосвязи между достижимым (наикратчайшим) расстоянием разрешения I, равным квадратному корню из (5.74), и допустимым уровнем шума который должен быть ниже требуемого фиксированного уровня.

Однако этот метод имеет следующие недостатки:

1. В силу линейности выход является неограниченным и поэтому может иметь отрицательные области.

2. Мера (5.74), служащая для улучшения разрешения, довольно произвольна и в значительной степени нечувствительна к структуре боковых лепестков в Поэтому выражение для достижимого расстояния разрешения I не содержит информации о нежелательной осцилляции, которую можно ожидать на выходе.

3. Для изображения, содержащего входных значений, этот метод требует решения системы линейных уравнений размером Следовательно, даже при изображении среднего размера, скажем 32X32, возникают существенные вычислительные трудности. До настоящего времени не появилось сообщений об испытании метода в приложении к двумерному отображению: для одномерного отображения он был испытан Салехом [43].

Вычислительные трудности, очевидно, можно преодолеть, воспользовавшись методом фильтрации. Для этого внесем видоизменение в критерий (5.75), заменив меру (5.74) мерой (5.736). В соответствии с этим будем искать фильтр Бакуса — Гильберта удовлетворяющий уравнению

Параметры выбираются пользователем так, чтобы либо усилить подавление шума (большое , либо улучшить разрешение (малое .

Подставляя (5.73а) и (5.736) в (5.76), возводя модули в квадрат и беря затем производную как при выводе (5.68), находим решение в виде

Это решение имеет явное сходство с винеровским реставрирующим фильтром (5.68) при снятом ограничении С другой стороны, (5.77) обладает требуемыми свойствами, обеспечивая при малых увеличение разрешения (причем т. е. в пределе получается инверсный фильтр, взвешенный функцией окна), а при больших -усиление подавления шума.

Таким образом, принцип Бакуса-Гильберта, состоящий в раздельном взвешивании разрешения и шума, можно рассматривать как способ фильтрации, легко приспосабливаемый для решения задач улучшения двумерных изображений. В сочетании с алгоритмом БПФ фильтр (5.77) обеспечивает гибкий способ реставрации изображений большого размера.

Однако этот способ, как и стандартный способ Бакуса—Гильберта, описанный в работе [42], имеет недостатки — он допускает появление нефизических (отрицательных) областей на выходе, и в нем отсутствуют средства прямого управления боковыми лепестками которая представляет собой от