4.3.2. Синтез в пространственной области

Предположим, что нам известна двумерная импульсная характеристика дискретного фильтра, который будет использоваться для обработки входного массива данных. Возможность

применения фильтра обеспечит двумерная свертка или двумерное преобразование Фурье. Однако можно также аппроксимировать известную импульсную характеристику синтезированной импульсной характеристикой двумерного рекурсивного фильтра. В некоторых случаях применение рекурсивного фильтра оказывается более эффективным методом, чем вычисление свертки или выполнение фильтрации в частотной области.

Метод синтеза

Представленный здесь метод является обобщением одномерного синтеза [17—19]. Пусть требуемая импульсная характеристика, где При

Пусть аппроксимирующий двумерный рекурсивный фильтр имеет передаточную функцию вида

где

Из (4.31) следует, что Перемножение полиномов от эквивалентно свертке массивов, поэтому

Выражение (4.32) определяет коэффициенты в области целых чисел Вне этой области коэффициенты равны нулю. Определим множество пар целых чисел как

Кроме того, определим как множество всех других значений превышающих нулевое значение:

Таким образом, должны быть определены значения при При имеем С учетом (4.32) и того факта, что получаем

Если правильно выбрать будет аппроксимировать требуемую импульсную характеристику Таким образом, можно записать

где значения должны принадлежать пересечению множества 7а и множества

Пусть ошибка, которую можно добавить к правой части (4.33) для получения равенства

Поэтому можно ввести под знак двойной суммы; тогда получим

Поскольку мы определили ошибку, можно выбрать таким образом, чтобы минимизировалась среднеквадратичная ошибка:

Если не считать равного единице, коэффициенты еще предстоит определить. Продифференцировав (4.34) по и приравняв полученное выражение нулю, можно найти значения минимизирующие среднеквадратичную ошибку. В результате получим уравнений вида

здесь

Таким образом, (4.35) представляет собой систему совместных линейных уравнений с неизвестными. Решения уравнений (4.35) дают коэффициенты минимизирующие среднеквадратичную ошибку.

После определения коэффициентов знаменателя передаточной функции фильтра остается вычислить коэффициенты числителя Один из возможных подходов состоит в нахождении таких коэффициентов которые минимизировали бы среднеквадратичное значение разности между коэффициентами передаточной функции и коэффициентами требуемой передаточной функции Это задача дискретной винеровской фильтрации в двух измерениях [20]. Задача заключается в нахождении оптимальной фильтрующей функции при заданном входном сигнале и желаемом выходном сигнале

Более простой, но менее точный метод нахождения массива А состоит в свертке массивов Поскольку коэффициенты из соотношения при Если выбрано удачно, коэффициенты будут иметь относительно небольшую величину при

Пример

Для иллюстрации описанного метода рассмотрим импульсную характеристику двумерного рекурсивного фильтра с передаточной функцией где массивы размерности 3X3. Значения коэффициентов представлены в табл. 4.1 (столбцы В качестве желательной импульсной характеристики использовались 20X20 ее первых значений. Для было принято значение 3. После вычисления коэффициентов согласно (4.36) и (4.37) была решена система уравнений (4.35), в результате чего были получены коэффициенты знаменателя. Коэффициенты числителя были определены путем двумерной свертки Коэффициенты рассматриваемого рекурсивного фильтра, вычисленные с помощью машинной программы, представлены в табл. 4.1 (столбцы

Полученные результаты свидетельствуют о весьма хорошем соответствии с коэффициентами исходного фильтра. Однако

Таблица 4.1 (см. скан) Проверка синтезированной импульсной характеристики

выбор правильного порядка массивов числителя и знаменателя представляет собой сложную задачу, даже если речь идет об одномерном случае. В данном примере сразу были выбраны «правильные» порядки, поскольку было заранее известно, что искомая импульсная характеристика связана с фильтром, имеющим передаточную функцию с числителем и знаменателем размерности 3X3. В более общем случае, когда такая информация отсутствует, наиболее подходящим является метод проб и ошибок.