4.3.3. Обобщенный подход к аппроксимации и устойчивости

Аппроксимация

Аппроксимационная задача общего вида, которую приходится решать при проектировании двумерных рекурсивных фильтров, является задачей нелинейной минимизации. Задача сводится к выбору таких коэффициентов массивов чтобы частотная характеристика фильтра была близкой аппроксимацией требуемой частотной характеристики. Часто используют критерий ошибки аппроксимации в виде среднеквадратичной нормы. Имеется множество алгоритмов, позволяющих осуществить минимизацию подобного рода. Например, можно указать работы [21, 22, 27].

Методы обеспечения устойчивости

Если на коэффициенты фильтра не накладывать никаких ограничений, то фильтр с фактически определенными коэффициентами может оказаться неустойчивым. Существуют два возможных метода обеспечения устойчивости, которые описываются ниже. Оба метода предполагают проведение определенных операций над полиномом знаменателя, направленных на изменение его фазочастотной характеристики (ФЧХ). Они позволяют создать фильтр, АЧХ которого подобна АЧХ исходного неустойчивого фильтра.

Двойная двумерная инверсия по критерию наименьших квадратов. Первый метод основан на использовании свойств двумерной инверсии по критерию наименьших квадратов. Предположим, что задан некоторый массив С. Требуется найти такой массив что С после свертки с аппроксимирует массив единичного импульса Таким образом, имеем

Символ обозначает свертку.

Определение двумерной инверсии. В общем случае невозможно обеспечить точное равенство и Фактически оказывается, что результат равен другому массиву Если выбрать таким образом, чтобы минимизировалась сумма квадратов элементов то такое будет называться инверсией по критерию наименьших квадратов С [24]. Если двумерные массивы, то в этом случае называется двумерной инверсией по критерию наименьших квадратов В двумерном случае находится по с помощью двумерного метода Винера, описанного Уиггинсом [20].

Предположение о минимальной фазе. Двумерные инверсии по критерию наименьших квадратов как группа обладают рядом интересных свойств. Одно такое свойство, которым мы будем пользоваться, рассматривается в следующем предположении.

Предположение А. Если задана произвольная действительная конечномерная матрица С, то любая ее двумерная инверсия по критерию наименьших квадратов обладает минимально-фазовыми свойствами. Смысл этого предположения сводится к тому, что при задании матрицы С, по которой можно определить ДИНК-матрицу последняя обязательно должна быть минимально-фазовой.

Это очень важное предположение, поскольку оно означает, что фильтр с передаточной функцией окажется устойчивым, если есть ДИНК.

Фиг. 4.21. (см. скан) Матрица входного массива размерности 3X3 массива А, где ДИНК—двумерная инверсия по критерию наименьших квадратов (б). Корневая диаграмма ДИНК размерности 3X3 массива

К сожалению, мы не располагаем доказательством этого предположения, которое является обобщением одномерной теоремы [24]. Однако нами было проверено множество численных примеров, и не оказалось ни одного случая, который бы свидетельствовал об обратном

Пример. В качестве примера использования ДИНК рассмотрим матрицу А, приведенную на фиг. 4.21,а. ДИНК размерности 3X3 матрицы А представлена на фиг. Корневая диаграмма этой ДИНК показана на фиг. Поскольку ото? бражение единичного -круга (заштрихованная область) не ресекается единичной грокружностью, ДИНК должна быть минимально-фазовой.

Предположим, что был спроектирован двумерный рекурсивный фильтр с передаточной функцией ко? торый, однако, оказался неустойчивым; другими словами,

знаменатель передаточной функции оказался неминимально-фазовым. Каким образом следует изменить коэффициенты, чтобы получить устойчивый фильтр?

Обозначим матрицу знаменателя передаточной функции неустойчивого фильтра через В. Вычислим В — двумерную инверсию по критерию наименьших квадратов В. Из предположения А следует, что является минимально-фазовой. Предположим, что мы вычислили ДИНК В и обозначили ее в. Таким образом, В есть инверсия инверсии, т.е. «двойная инверсия» В. Интуиция подсказывает, что обладают некоторыми общими свойствами. Более того, В, как таковая, есть ДИНК. Следовательно, В является минимально-фазовой, а В нет. Поэтому фильтр с передаточной функцией устойчив.

Рассмотрим, например, фильтр с передаточной функцией где

Этот фильтр неустойчив, что иллюстрирует фиг. 4.22, где показан перспективный вид импульсной характеристики, соответствующей Следует отметить возрастание уровня импульсной характеристики по мере увеличения значений пространственных координат х и у. Убедиться в неустойчивости фильтра можно путем построения корневой диаграммы В. Последняя представлена на фиг. 4.23. Поскольку заштрихованная область (отображение единичного -круга) частично пересекается единичной -окружностью, В не является минимально-фазовым.

Чтобы получить устойчивый фильтр, прежде всего следует вычислить В, т.е. В рассматриваемом примере В выражается матрицей размера 3X3. Вычислим ДИНК-матрицу размера 3X3, которую обозначим через В:

Корневая диаграмма В представлена на фиг. 4.24, которая показывает, что В является минимально-фазовым. Следовательно, фильтр с передаточной функцией должен быть устойчивым. Это заключение подтверждает изучение фиг. 4.25, на которой показан перспективный импульсной характеристики, соответствующей Очевидно, что

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 4.25. Двумерная импульсная характеристика фильтра после обеспечения его устойчивости.

уровень этой импульсной характеристики снижается по мере увеличения координат х и у.

Замечания относительно амплитудного и фазового спектров. В каком смысле являются подобными? Как мы уже убедились, В является минимально-фазовым, а В таким свойством не обладает. С другой стороны, В есть двойная ДИНК В. Поэтому мы предполагаем, что фактически В должно быть аппроксимирующим минимально-фазовым вариантом В. Другими словами, можно ожидать, что амплитудные спектры являются приблизительно одинаковыми. Двумерные амплитудные спектры представлены на фиг. 4.26 в виде контурных диаграмм. Описанный метод позволил создать устойчивый фильтр путем модификации знаменателя передаточной функции неустойчивого фильтра. Оба массива знаменателя обладают схожими амплитудными спектрами, однако фазовый спектр В был видоизменен для обеспечения устойчивости.

Двумерное дискретное преобразование Гильберта. Второй метод обеспечения устойчивости двумерных рекурсивных фильтров называется «методом преобразования Гильберта» [25]. Этот метод, как и предыдущий, основан на обобщении одномерной методики.

Одномерный случай. Как известно [26], в случае минимально-фазовой последовательности фазовый спектр

Фиг. 4.26. Сравнение двух амплитудных спектров неминимально-фазового знаменателя В (штриховые линии) и минимально-фазового знаменателя В (сплошные линии).

и логарифм амплитудного спектра связаны между собой преобразованием Гильберта:

Соотношение (4.41) вытекает из следующего факта: последовательность является минимально-фазовой, если и только если обратное -преобразование является физически реализуемым. Поскольку преобразование Гильберта связывает действительную и мнимую части физически реализуемых функций, применение такого преобразования к [соотношение (4.41)] дает мнимую часть которая является фазовым спектром

Используя правило трапеций, можно найти дискретную аппроксимацию (4.41) на основе дискретного преобразования Фурье [25]. Процедура нахождения аппроксимированного минимально-фазового спектра по известному амплитудному спектру смешанной или минимально-фазовой последовательности определяется соотношением

Здесь составляющая амплитудного спектра, составляющая фазового спектра. ДПФ и выражают выполнение дискретного преобразования Фурье и обратного дискретного преобразования Фурье. Функция есть конечномерная дискретная функция знака, длина которой равна длине интервала выполнения дискретного преобразования Фурье. На фиг. 4.27 представлена блок-схема алгоритма для получения минимально-фазового варианта смешанного или неминимально-фазового импульса.

Фиг. 4.27. (см. скан) Блок-схема алгоритма для получения минимально-фазового варианта одномерного импульса.

Двумерный случай. Если воспользоваться двумерным вариантом дискретного преобразования Фурье и найти особую двумерную функцию знака, то рассматриваемый метод можно обобщить на двумерный случай [25]. Таким образом, при заданном двумерном амплитудном спектре физически реализуемой последовательности минимально-фазовый спектр

вычисляется с помощью выражения

Блок-схема алгоритма для получения минимально-фазового варианта смешанного или неминимально-фазового массива, соответствующего (4.43), не отличается от алгоритма, приведенного на фиг. 4.27, за исключением того, что все операции необходимо выполнять в двух измерениях.

Сравнение с методом двойной двумерной инверсии по критерию наименьших квадратов

Пример 1. В первом примере метод обеспечения устойчивости с применением преобразования Гильберта сравнивается с методом двойной двумерной инверсии по критерию наименьших квадратов. Рассматривается двумерный рекурсивный фильтр, в знаменателе передаточной функции которого используется полином с коэффициентами

Корневая диаграмма для этого массива коэффициентов приведена на фиг. 4.28, а. Видно, что отображение единичного -круга в -плоскости пересекается единичной -окружностью. Это означает, что фильтр с полиномом в знаменателе его передаточной функции неустойчив. На фиг. 4.28,6 показана корневая диаграмма массива

который получен из массива В в результате применения метода двойной инверсии по методу наименьших квадратов. Теперь отображение единичного -круга в -плоскости не пересекается единичной -окружностью. Это означает, что рекурсивный фильтр с полиномом в знаменателе передаточной функции устойчив. На фиг. 4.28, б показана корневая диаграмма двумерного полинома с коэффициентами

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 4.29. (см. скан) Сравнение амплитудных спектров, полученных после применения различных методов обеспечения устойчивости: а — контурная диаграмма исходного амплитудного спектра; б - контурная диаграмма после применения метода преобразования Гильберта; в — контурная диаграмма после применения метода двойной ДИНК.

Этот массив получен из массива коэффициентов В методом обеспечения устойчивости с применением преобразования Гильберта.

Корневая диаграмма показывает, что отображение единичного z-круга не пересекается единичной -окружностью в плоскости. Следовательно, рекурсивный фильтр с

Фиг. 4.30. (см. скан) Корневая диаграмма неминимально-фазового двумерного массива (а), та же корневая диаграмма после обеспечения устойчивости методом преобразования Гильберта (б).

полиномом в знаменателе передаточной функции является минимально-фазовым. Различная конфигурация контуров равного уровня на фиг. 4.28, б и в свидетельствует о том, что двумерные спектры существенно отличаются друг от друга. Контурные диаграммы амплитудных спектров представлены на фиг. 4.29, а-в. Квадрат ошибки для получаемого амплитудного спектра определяется выражением

где и амплитудные спектры соответственно. Ошибка определяется аналогично. В случае амплитудных спектров на фиг. 4.29 ошибка в 18,5 раза меньше ошибки

Из блок-схемы на фиг. 4.27 следует, что усечение массива производится после того, как определяется непосредственно из обратного дискретного преобразования Фурье и из фазового спектра, полученного с помощью дискретного преобразования Гильберта. Усечение полученного результата производится таким образом, чтобы восстанавливалась размерность исходного массива В. Если применение метода обеспечения устойчивости с дискретным преобразованием Гильберта дает абсолютно точный минимально-фазовый массив, то все элементы обратного преобразования размерность которых превышает размерность исходного массива В, имеют нулевое значение. Практически же величина элементов вне области, границы которой определяются размерностью исходного массива В, оказывается малой по сравнению с величиной элементов в пределах этой области, но не равной нулю. Эти элементы имеют ненулевые значения потому, что метод дискретного преобразования Гильберта, реализуемый с применением дискретного преобразования Фурье, представляет собой аппроксимацию интегрального преобразования [25]. Метод преобразования Гильберта может привести к получению массивов, не являющихся минимально-фазовыми. Однако значительный вычислительный опыт показывает, что такая ситуация не должна возникать часто; в большинстве случаев рассматриваемый метод дает минимально-фазовый вариант исходного массива с амплитудным спектром, близко аппроксимирующим амплитудный спектр исходного массива.

Пример 2. Полином с коэффициентами, задаваемыми матрицей размера 5X5

имеет корневую диаграмму, показанную на фиг. 4.30, а. Как и в предыдущем примере, здесь отображение единичного -круга пересекается единичной -окружностью в -плоскости. Таким образом, рекурсивный фильтр с в знаменателе передаточной функции неустойчив. Применение метода обеспечения

Фиг. 4.31. Корневая диаграмма, полученная в результате применения метода обеспечения устойчивости с преобразованием Гильберта в контрпримере.

устойчивости с преобразованием Гильберта приводит к получению минимально-фазового массива вида

корневая диаграмма которого показана на фиг. 4.30,6. Отображение единичного -круга не пересекается единичной -окружностью, т.е. фильтр с в знаменателе передаточной функции устойчив. Следует обратить внимание на то, что точка возмущения с координатами приблизительно на фиг. 4.30, а отразилась относительно единичной -окружности и отобразилась в точку с координатами приблизительно на фиг. 4.30, б.

Контрпример и замечания. Метод обеспечения устойчивости с преобразованием Гильберта, позволяющий находить очень хорошие аппроксимации в спектральной области, не лишен, однако, недостатков. Приложение этого метода к массиву (4.39) приводит к получению массива, корневая диаграмма которого показана на фиг. 4.31. Видно, что единичная -окружность пересекает отображение единичного -круга несмотря на применение метода обеспечения устойчивости. В данном случае метод с преобразованием Гильберта оказался непригодным для получения минимально-фазового массива. Возможны два объяснения этого факта: 1) метод теоретически не гарантирует нахождения минимально-фазового массива и 2) имеются вычислительные трудности, проявившиеся в данном примере. Корневая диаграмма на фиг. 4.23 показывает, что контурная линия с уровнем

1,00 проходит на очень близком расстоянии от единичной -окружности в зоне, где эта единичная окружность пересекает отображение единичного -круга. Фиг. 4.31 показывает, что метод с преобразованием Гильберта уменьшил, но не ликвидировал зону пересечения. Описанное явление можно также объяснить вычислительными трудностями, которые возникают при работе с одномерными массивами, нули -преобразования которых близки по величине к единице.